Wie beweist man # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #?

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Innenwinkel #theta#:

Dann:

#sin theta = a/c#

#cos theta = b/c#

Damit:

#sin^2 theta + cos^2 theta = a^2/c^2+b^2/c^2 = (a^2+b^2)/c^2#

Durch Pythagoras #a^2+b^2 = c^2#, damit #(a^2+b^2)/c^2 = 1#

So gesehen, beweist Pythagoras die Identität für #theta in (0, pi/2)#

Für Winkel außerhalb dieses Bereichs können wir verwenden:

#sin (theta + pi) = -sin (theta)#

#cos (theta + pi) = -cos (theta)#

#sin (- theta) = - sin(theta)#

#cos (- theta) = cos(theta)#

Also zum Beispiel:

#sin^2 (theta + pi) + cos^2 (theta + pi) = (-sin theta)^2 + (-cos theta)^2 = sin^2 theta + cos^2 theta = 1#

#color(white)()#
Satz des Pythagoras

Gegeben ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten #a#, #b# und #c# Betrachten Sie das folgende Diagramm:

Die Fläche des großen Platzes beträgt #(a+b)^2#

Die Fläche des kleinen, geneigten Quadrats beträgt #c^2#

Die Fläche jedes Dreiecks ist #1/2ab#

Also haben wir:

#(a+b)^2 = c^2 + 4 * 1/2ab#

Das heißt:

#a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab#

Subtrahieren #2ab# von beiden seiten zu bekommen:

#a^2+b^2 = c^2#