Wie beweist man $sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1$ ?

Siehe Erklärung ...

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Innenwinkel $theta$ :

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Dann:

$sin theta = a/c$

$cos theta = b/c$

Damit:

$sin^2 theta + cos^2 theta = a^2/c^2+b^2/c^2 = (a^2+b^2)/c^2$

Durch Pythagoras $a^2+b^2 = c^2$ , damit $(a^2+b^2)/c^2 = 1$

So gesehen, beweist Pythagoras die Identität für $theta in (0, pi/2)$

Für Winkel außerhalb dieses Bereichs können wir verwenden:

$sin (theta + pi) = -sin (theta)$

$cos (theta + pi) = -cos (theta)$

$sin (- theta) = - sin(theta)$

$cos (- theta) = cos(theta)$

Also zum Beispiel:

$sin^2 (theta + pi) + cos^2 (theta + pi) = (-sin theta)^2 + (-cos theta)^2 = sin^2 theta + cos^2 theta = 1$

$color(white)()$
Satz des Pythagoras

Gegeben ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten $a$ , $b$ und $c$ Betrachten Sie das folgende Diagramm:

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Die Fläche des großen Platzes beträgt $(a+b)^2$

Die Fläche des kleinen, geneigten Quadrats beträgt $c^2$

Die Fläche jedes Dreiecks ist $1/2ab$

Also haben wir:

$(a+b)^2 = c^2 + 4 * 1/2ab$

Das heißt:

$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$

Subtrahieren $2ab$ von beiden seiten zu bekommen:

$a^2+b^2 = c^2$

Wie beweist man sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 ?