Wie beweisen Sie, dass #cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny #?
#cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#
kann demonstriert werden, indem man das zuerst zeigt
#cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
und dann die Umwandlung unter Verwendung des CAST-Prinzips wie angegeben durchführen.
- Ich bin mir sicher, dass es dafür auch andere Möglichkeiten gibt. Aber das habe ich mir ausgedacht. (es ist ziemlich lang).
- Ich entschuldige mich für die Verwendung #a# und #b# statt #x# und #y#; Ich habe die folgenden Diagramme gezeichnet, bevor ich überprüfte, welche Variablen in der Anfrage verwendet wurden.
Part 1: Zeigen #cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
Entlang der Hypotenuse von Dreieck XYQ mit Winkel wurde ein Dreieck XQP konstruiert #a# über winkel #b# wie im Diagramm.
Das Liniensegment XP wird als Längeneinheit für alle Messungen in diesem System identifiziert.
Ein Rechteck wird mit der Basis XY konstruiert, indem die Linie von Y bis Q verlängert wird, bis ein Punkt Z erreicht ist, an dem PZ parallel zum unteren Punkt (XY) liegt (die Vervollständigung des Rechtecks legt Punkt W fest).
Innerhalb des Dreiecks XQP ist klar, dass (seit #|XP| = 1#)
#|XQ| = cos(a)#
und
#|PQ| = sin(a)#
Daher ist im Dreieck XYQ
#|XY| = cos(b)*cos(a)# (#cos(b)# vergrößert durch die #cos(a)#)
Ähnlich im Dreieck QZP
#|PZ| = sin(a)*sin(b)#
Da WZ parallel zu XY ist (konstruktionsbedingt)
Winkel XPW = Winkel PXY = #a+b#
und
#|WP| = cos(a+b)#
Aus dem Diagramm
#cos(a+b) + sin(a)*sin(b) = cos(a)*cos(b)#
or
#cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
Teil 2 : Zeigen Sie, dass wenn #cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
dann #cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#
#cos(a-b) = cos(a + (-b))#
so können wir ersatz bekommen
#cos(a-b) = cos(a)*cos(-b) - sin(a)*sin(-b)#
Nach dem CAST-Quadrantendiagramm für trig. Zeichen (unten) sehen wir das
#cos(-b) = cos(b)#
und
#sin(-b) = -sin(b)#
Deshalb können wir schreiben:
#cos (a - b) = (cos(a) * cos(b)) - (sin(a) * (-sin(b) ))#
or
#cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#