Wie beweisen Sie, dass cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny ?
cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)
kann demonstriert werden, indem man das zuerst zeigt
cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
und dann die Umwandlung unter Verwendung des CAST-Prinzips wie angegeben durchführen.
- Ich bin mir sicher, dass es dafür auch andere Möglichkeiten gibt. Aber das habe ich mir ausgedacht. (es ist ziemlich lang).
- Ich entschuldige mich für die Verwendung a und b statt x und y; Ich habe die folgenden Diagramme gezeichnet, bevor ich überprüfte, welche Variablen in der Anfrage verwendet wurden.
Part 1: Zeigen cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
Entlang der Hypotenuse von Dreieck XYQ mit Winkel wurde ein Dreieck XQP konstruiert a über winkel b wie im Diagramm.
Das Liniensegment XP wird als Längeneinheit für alle Messungen in diesem System identifiziert.
Ein Rechteck wird mit der Basis XY konstruiert, indem die Linie von Y bis Q verlängert wird, bis ein Punkt Z erreicht ist, an dem PZ parallel zum unteren Punkt (XY) liegt (die Vervollständigung des Rechtecks legt Punkt W fest).
Innerhalb des Dreiecks XQP ist klar, dass (seit |XP| = 1)
|XQ| = cos(a)
und
|PQ| = sin(a)
Daher ist im Dreieck XYQ
|XY| = cos(b)*cos(a) (cos(b) vergrößert durch die cos(a))
Ähnlich im Dreieck QZP
|PZ| = sin(a)*sin(b)
Da WZ parallel zu XY ist (konstruktionsbedingt)
Winkel XPW = Winkel PXY = a+b
und
|WP| = cos(a+b)
Aus dem Diagramm
cos(a+b) + sin(a)*sin(b) = cos(a)*cos(b)
or
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
Teil 2 : Zeigen Sie, dass wenn cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
dann cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)
cos(a-b) = cos(a + (-b))
so können wir ersatz bekommen
cos(a-b) = cos(a)*cos(-b) - sin(a)*sin(-b)
Nach dem CAST-Quadrantendiagramm für trig. Zeichen (unten) sehen wir das
cos(-b) = cos(b)
und
sin(-b) = -sin(b)
Deshalb können wir schreiben:
cos (a - b) = (cos(a) * cos(b)) - (sin(a) * (-sin(b) ))
or
cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)