Wie berechnet man mit einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion den Mittelwert und die Varianz einer diskreten Verteilung?

Antworten:

PMF für diskrete Zufallsvariable #X:" "# #p_X(x)" "# or #" "p(x)#.
Bedeuten: #" "mu=E[X]=sum_x x*p(x)#.
Abweichung: #" "sigma^2 = "Var"[X]=sum_x [x^2*p(x)] - [sum_x x*p(x)]^2#.

Erläuterung:

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (kurz pmf) ist eine Abbildung, die alle möglichen diskreten Werte, die eine Zufallsvariable annehmen könnte, aufnimmt und sie auf ihre Wahrscheinlichkeiten abbildet. Ein kurzes Beispiel: if #X# ist das Ergebnis eines einzelnen Würfelwurfs #X# könnte die Werte annehmen #{1,2,3,4,5,6},# jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit #1/6#. Die PMF für #X# wäre:

#p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}#

Wenn wir nur mit einer Zufallsvariablen arbeiten, dem Index #X# wird oft weggelassen, so schreiben wir die pmf als #p(x)#.

Kurz gesagt: #p(x)# entspricht #P(X=x)#.

Die bedeuten #mu# (oder erwarteter Wert #E[X]#) einer Zufallsvariablen #X# ist die Summe der gewichteten möglichen Werte für #X#; gewichtet, dh mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Ob #S# ist die Menge aller möglichen Werte für #X#, dann lautet die Formel für den Mittelwert:

#mu =sum_(x in S) x*p(x)#.

In unserem Beispiel von oben funktioniert das so

#mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)#
#color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)#
#color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)#
#color(white)mu = 1/6(21)#

#color(white)mu = 3.5#

Die Unterschied #sigma^2# (oder #"Var"[X]#) einer Zufallsvariablen #X# ist ein Maß für die Verbreitung der möglichen Werte. Per Definition ist es der erwartete Wert des quadratischen Abstands zwischen #X# und #mu#:

#sigma^2 = E[(X-mu)^2]#

Mit etwas einfacher Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie wird dies

#sigma^2 = E[X^2] - mu^2#

Wir haben bereits eine Formel für #mu" "(E[X]),# Jetzt brauchen wir nur noch eine Formel für #E[X^2].# Dies ist der erwartete Wert von kariert Zufallsvariable, so ist unsere Formel für diese die Summe der kariert mögliche Werte für #X#wieder gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten der #x#-Werte:

#E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)#

Unter Verwendung dieser Formel für die Varianz von #X# wird

#sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2#

Für unser Beispiel #mu# wurde berechnet zu sein #3.5,# Also nutzen wir das für unsere letzte Amtszeit, um zu bekommen

#sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25#
#color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25#
#color(white)(sigma^2) = 2.917#

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