Wie berechnet man mit einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion den Mittelwert und die Varianz einer diskreten Verteilung?

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (kurz pmf) ist eine Abbildung, die alle möglichen diskreten Werte, die eine Zufallsvariable annehmen könnte, aufnimmt und sie auf ihre Wahrscheinlichkeiten abbildet. Ein kurzes Beispiel: if #X# ist das Ergebnis eines einzelnen Würfelwurfs #X# könnte die Werte annehmen #{1,2,3,4,5,6},# jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit #1/6#. Die PMF für #X# wäre:

#p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}#

Wenn wir nur mit einer Zufallsvariablen arbeiten, dem Index #X# wird oft weggelassen, so schreiben wir die pmf als #p(x)#.

Kurz gesagt: #p(x)# entspricht #P(X=x)#.

Die bedeuten #mu# (oder erwarteter Wert #E[X]#) einer Zufallsvariablen #X# ist die Summe der gewichteten möglichen Werte für #X#; gewichtet, dh mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Ob #S# ist die Menge aller möglichen Werte für #X#, dann lautet die Formel für den Mittelwert:

#mu =sum_(x in S) x*p(x)#.

In unserem Beispiel von oben funktioniert das so

#mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)#
#color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)#
#color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)#
#color(white)mu = 1/6(21)#

#color(white)mu = 3.5#

Die Unterschied #sigma^2# (oder #"Var"[X]#) einer Zufallsvariablen #X# ist ein Maß für die Verbreitung der möglichen Werte. Per Definition ist es der erwartete Wert des quadratischen Abstands zwischen #X# und #mu#:

#sigma^2 = E[(X-mu)^2]#

Mit etwas einfacher Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie wird dies

#sigma^2 = E[X^2] - mu^2#

Wir haben bereits eine Formel für #mu" "(E[X]),# Jetzt brauchen wir nur noch eine Formel für #E[X^2].# Dies ist der erwartete Wert von kariert Zufallsvariable, so ist unsere Formel für diese die Summe der kariert mögliche Werte für #X#wieder gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten der #x#-Werte:

#E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)#

Unter Verwendung dieser Formel für die Varianz von #X# wird

#sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2#

Für unser Beispiel #mu# wurde berechnet zu sein #3.5,# Also nutzen wir das für unsere letzte Amtszeit, um zu bekommen

#sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25#
#color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25#
#color(white)(sigma^2) = 2.917#