Wie berechnet man mit einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion den Mittelwert und die Varianz einer diskreten Verteilung?

Antworten:

PMF für diskrete Zufallsvariable $X:" "$ $p_X(x)" "$ or $" "p(x)$ .
Bedeuten: $" "mu=E[X]=sum_x x*p(x)$ .
Abweichung: $" "sigma^2 = "Var"[X]=sum_x [x^2*p(x)] - [sum_x x*p(x)]^2$ .

Erläuterung:

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (kurz pmf) ist eine Abbildung, die alle möglichen diskreten Werte, die eine Zufallsvariable annehmen könnte, aufnimmt und sie auf ihre Wahrscheinlichkeiten abbildet. Ein kurzes Beispiel: if $X$ ist das Ergebnis eines einzelnen Würfelwurfs $X$ könnte die Werte annehmen ${1,2,3,4,5,6},$ jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit $1/6$ . Die PMF für $X$ wäre:

$p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}$

Wenn wir nur mit einer Zufallsvariablen arbeiten, dem Index $X$ wird oft weggelassen, so schreiben wir die pmf als $p(x)$ .

Kurz gesagt: $p(x)$ entspricht $P(X=x)$ .

Die bedeuten $mu$ (oder erwarteter Wert $E[X]$ ) einer Zufallsvariablen $X$ ist die Summe der gewichteten möglichen Werte für $X$ ; gewichtet, dh mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Ob $S$ ist die Menge aller möglichen Werte für $X$ , dann lautet die Formel für den Mittelwert:

$mu =sum_(x in S) x*p(x)$ .

In unserem Beispiel von oben funktioniert das so

$mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)$
$color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)$
$color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)$
$color(white)mu = 1/6(21)$

$color(white)mu = 3.5$

Die Unterschied $sigma^2$ (oder $"Var"[X]$ ) einer Zufallsvariablen $X$ ist ein Maß für die Verbreitung der möglichen Werte. Per Definition ist es der erwartete Wert des quadratischen Abstands zwischen $X$ und $mu$ :

$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$

Mit etwas einfacher Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie wird dies

$sigma^2 = E[X^2] - mu^2$

Wir haben bereits eine Formel für $mu" "(E[X]),$ Jetzt brauchen wir nur noch eine Formel für $E[X^2].$ Dies ist der erwartete Wert von kariert Zufallsvariable, so ist unsere Formel für diese die Summe der kariert mögliche Werte für $X$ wieder gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten der $x$ -Werte:

$E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)$

Unter Verwendung dieser Formel für die Varianz von $X$ wird

$sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2$
$color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2$

Für unser Beispiel $mu$ wurde berechnet zu sein $3.5,$ Also nutzen wir das für unsere letzte Amtszeit, um zu bekommen

$sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2$
$color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2$
$color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2$
$color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25$
$color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25$
$color(white)(sigma^2) = 2.917$