Wie berechne ich den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Sie können das Skalarprodukt verwenden, um dieses Problem zu lösen. Sehen http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Das Skalarprodukt ist eine Operation mit zwei Vektoren. Es gibt zwei verschiedene Definitionen des Skalarprodukts. Lassen #vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]# sei ein Vektor und #vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]# Sei ein anderer Vektor, dann haben wir 2-Formeln für das Skalarprodukt:

1) Algebraische Definition:

#vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n#

2) Geometrische Definition:

#vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

woher #theta# ist der Winkel zwischen #vec(A)# und #vec(B)#, und #||vec(A)||# bezeichnet die Größe von #vec(A)# und hat die Formel:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)#

Wir können viele Fragen (wie den Winkel zwischen zwei Vektoren) lösen, indem wir die beiden Definitionen kombinieren:

#sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

or

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)#

Wenn wir zwei Vektoren haben, ist die einzige Unbekannte #theta# in der obigen Gleichung, und damit können wir lösen #theta#Dies ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Beispiel:

F: Gegeben #vec(A) = [2, 5, 1]#, #vec(B) = [9, -3, 6]#finden Sie den Winkel zwischen ihnen.

A:
Aus der Frage sehen wir, dass jeder Vektor drei Dimensionen hat. Von oben lautet unsere Formel:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)#

Linke Seite:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9#

Rechte Seite:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)#
#||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)#
#theta# ist unbekannt

Stecke alles in die Formel, wir bekommen:

#9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)#

Lösen für #theta#:

#cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))#
#theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))#

Mit einem Taschenrechner erhalten wir:

#theta = 81.58# Grad

Sehen Sie das folgende Video von ...

Beispiel für einen Winkel zwischen Vektoren

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