Wie berechne ich den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Sie können das Skalarprodukt verwenden, um dieses Problem zu lösen. Sehen http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Das Skalarprodukt ist eine Operation mit zwei Vektoren. Es gibt zwei verschiedene Definitionen des Skalarprodukts. Lassen $vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]$ sei ein Vektor und $vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]$ Sei ein anderer Vektor, dann haben wir 2-Formeln für das Skalarprodukt:

1) Algebraische Definition:

$vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n$

2) Geometrische Definition:

$vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)$

woher $theta$ ist der Winkel zwischen $vec(A)$ und $vec(B)$ , und $||vec(A)||$ bezeichnet die Größe von $vec(A)$ und hat die Formel:

$||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)$

Wir können viele Fragen (wie den Winkel zwischen zwei Vektoren) lösen, indem wir die beiden Definitionen kombinieren:

$sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)$

$A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)$

Wenn wir zwei Vektoren haben, ist die einzige Unbekannte $theta$ in der obigen Gleichung, und damit können wir lösen $theta$ Dies ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Beispiel:

F: Gegeben $vec(A) = [2, 5, 1]$ , $vec(B) = [9, -3, 6]$ finden Sie den Winkel zwischen ihnen.

A:
Aus der Frage sehen wir, dass jeder Vektor drei Dimensionen hat. Von oben lautet unsere Formel:

$A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)$

Linke Seite:

$A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9$

Rechte Seite:

$||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)$
$||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)$
$theta$ ist unbekannt

Stecke alles in die Formel, wir bekommen:

$9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)$

Lösen für $theta$ :

$cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))$
$theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))$

Mit einem Taschenrechner erhalten wir:

$theta = 81.58$ Grad

Sehen Sie das folgende Video von ...

Beispiel für einen Winkel zwischen Vektoren