Wie benutzt man das Kosinusgesetz, um die Fläche eines Dreiecks zu finden?

Die Fläche eines Dreiecks ist definiert als:

Das Gesetz der Cosinus ist nützlich, wenn Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen oder wenn Sie alle drei Seiten kennen. Schauen wir uns ein allgemeines Dreieck an, ABC;

In dem Fall, dass Sie zwei Seiten und einen Winkel kennen, sagen wir Seiten a und b und Winkel C, würden Sie einfach die Flächenformel verwenden;

#area = (ab sin(C))/2#

und es besteht keine Notwendigkeit, das Kosinusgesetz anzuwenden.

Betrachten wir daher den Fall, in dem wir die drei Seiten eines Dreiecks a, b und c kennen. In diesem Fall können wir die Höhe nicht mit sin (C) ermitteln. Wir können jedoch den Satz von Pythagoras verwenden.

Im zweiten Bild oben würden wir den Satz von Pythagoras verwenden, um die Länge von zu bestimmen #a sin(C)#, die Höhe des Dreiecks.

#(a sin(C))^2 = a^2 - (a cos(C))^2#

Nun wenden wir das Cosinusgesetz an, um zu finden #cos(C)#. Das Cosinusgesetz ist gegeben als;

#cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/ (2ab)#

so haben wir jetzt;

#(a sin(C))^2 = a^2 - (a ((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)))^2#

oder;

#a sin(C) = sqrt(a^2 - ((a^2 + b^2 - c^2)/(2b))^2)#

Es ist nicht schön, aber wir können diese Gleichung in unsere Flächengleichung einfügen, um sie zu erhalten.

#Area = (b xx sqrt(a^2 - ((a^2 + b^2 - c^2)/(2b))^2))/2#

wo Seite #b# ist die Basis des Dreiecks und #a sin(C)# ist die Höhe.