Was ist eine vertikale Asymptote in der Analysis?

Die vertikale Asymptote ist ein Ort, an dem die Funktion undefiniert ist und Das Limit der Funktion existiert nicht.

Das liegt daran wie #1# nähert sich der Asymptote, auch kleine Verschiebungen in der #x#-Wert führen zu beliebig großen Schwankungen im Wert der Funktion.

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Auf dem Graphen einer Funktion #f(x)#tritt eine vertikale Asymptote an einem Punkt auf #P=(x_0,y_0)# wenn die begrenzen der Funktionsansätze #oo# or #-oo# as #x->x_0#.

Zur genaueren Definition James Stewarts Infinitesimalrechnung, #6^(th)# Ausgabe, gibt uns Folgendes:

"Definition: Die Linie x = a heißt a vertikale Asymptote der Kurve #y=f(x)# wenn mindestens eine der folgenden Aussagen zutrifft:

#lim_(x->a)f(x) = oo#
#lim_(x->a)f(x) = -oo#
#lim_(x->a^+)f(x) = oo#
#lim_(x->a^+)f(x) = -oo#
#lim_(x->a^-)f(x) = oo#
#lim_(x->a^-)f(x) = -oo#"

In der obigen Definition bezeichnet das hochgestellte + die rechte Grenze von #f(x)# as #x->a#und der hochgestellte Index bezeichnet die linke Grenze.

In Bezug auf andere Aspekte der Analysis kann man im Allgemeinen eine Funktion nicht an ihrer vertikalen Asymptote unterscheiden (selbst wenn die Funktion über einen kleineren Bereich unterscheidbar ist), noch kann man an dieser vertikalen Asymptote integrieren, da die Funktion dort nicht stetig ist.

Betrachten Sie als Beispiel die Funktion #f(x) = 1/x#.

Wie wir uns nähern #x=0# von links oder rechts, #f(x)# wird willkürlich negativ bzw. willkürlich positiv.

In diesem Fall sind zwei unserer Aussagen aus der Definition richtig: die dritte und die sechste. Deshalb sagen wir, dass:

#f(x) = 1/x# has a vertical asymptote at #x=0#.

Siehe Bild unten.

Quellen:
Stewart, James. Infinitesimalrechnung. #6^(th)# ed. Belmont: Thomson Higher Education, 2008. Drucken.