Was ist eine Lösung für die Differentialgleichung # dy / dx = y #?

Wenn Sie nicht nach dem suchen General Lösung, sondern nur einem Lösung, dann können Sie es manchmal für einfache Differentialgleichungen wie diese herausfinden, indem Sie für eine Sekunde darüber nachdenken, was die Differentialgleichung wörtlich bedeutet.

#dy/dx=y#

Wir suchen eine Funktion, #y#, der die Eigenschaft hat, dass die Ableitung von #y# entspricht #y# sich.

Es gibt eine Funktion, die Sie wahrscheinlich zuvor kennengelernt haben und die genau diese Eigenschaft hat:

#y = e^x#.

Die Funktion #e^x# ist gerade deshalb so besonders, weil seine Ableitung auch gleich ist #e^x#. So #y = e^x# ist eine Lösung für die Differentialgleichung.

Wenn Sie auch interessiert sind zu finden alle Lösungen für diese DE (oder Sie interessieren sich nicht für Versuch und Irrtum), dann können Sie diese DE durch Trennung von Variablen lösen.

Denken Sie an #dy# und #dx# jeweils als diskrete Variablen. Sie könnten also so etwas wie beide Seiten multiplizieren #dx# und am Ende mit:

#iff dy=ydx#

Und dann beide Seiten durch teilen #y#:

#iff dy/y=dx#

Integrieren Sie nun die linke Seite #dy# und die rechte Seite #dx#:

#iff int 1/y dy=int dx#

#iff ln |y|=x+C#

Denken Sie daran, die Integrationskonstante hinzuzufügen, aber wir brauchen nur eine.

Heben Sie beide Seiten an #e# um das abzubrechen #ln#:

#iff y=+-e^(x+C)#

Nun ziehen die #C# draußen:

#iff y=+-Ce^x#

Da #C# kann entweder positiv oder negativ sein, wir brauchen das nicht wirklich #+-#:

#iff y=Ce^x#

Es gibt also unsere allgemeine Lösung: Beliebiges konstantes Vielfaches von #e^x# ist eine sinnvolle Lösung der Differentialgleichung.