Was ist eine Lösung für die Differentialgleichung # dy / dx = xy #?

Antworten:

# y = x - 1 + C/e^x#

Erläuterung:

#dy/dx=x-y#

nicht trennbar, nicht genau, also auf Integrationsfaktor einstellen

#dy/dx + y =x#

das WENN ist #e^(int dx) = e^x# so

#e^x dy/dx + e^x y =xe^x#

or

#d/dx (e^x y) =xe^x#

so

#e^x y = int xe^x dx qquad triangle#

Für die Integration verwenden wir IBP: #int u v' = uv - int u' v#

#u = x, u' = 1#
#v' = e^x, v = e^x#

#implies x e^x - int e^x dx#

#= x e^x - e^x + C#

Also zurück zu #triangle#

#e^x y = x e^x - e^x + C#

# y = x - 1 + C/e^x#

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