Was ist die Quadratwurzel von -49?

$sqrt(-49) = 7i$

Eine Quadratwurzel einer Zahl $n$ ist eine Zahl $x$ so dass $x^2 = n$

Beachten Sie, dass wenn $x$ ist dann eine reelle Zahl $x^2 >= 0$ .

Also jede Quadratwurzel von $-49$ ist keine reelle Zahl.

Um Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können, brauchen wir komplexe Zahlen.

Dort ist die mysteriöse Zahl $i$ kommt ins Spiel. Dies wird die imaginäre Einheit genannt und hat die Eigenschaft:

$i^2 = -1$

So $i$ ist eine Quadratwurzel von $-1$ . Beachten Sie, dass $-i$ ist auch eine Quadratwurzel von $-1$ , schon seit:

$(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1$

Dann finden wir:

$(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49$

So $7i$ ist eine Quadratwurzel von $-49$ . Beachten Sie, dass $-7i$ ist auch eine Quadratwurzel von $-49$ .

Was meinen wir damit? das Quadratwurzel von $-49$

Für positive Werte von $n$ , das Unter Quadratwurzel wird üblicherweise die Hauptquadratwurzel verstanden $sqrt(n)$ , das ist die positive.

Für negative Werte von $n$ sind die Quadratwurzeln beide Vielfache von $i$ , also weder positiv noch negativ, aber wir können definieren:

$sqrt(n) = i sqrt(-n)$

Mit dieser Definition wird die Hauptquadratwurzel von $-49$ ist:

$sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i$

$color(white)()$
Fußnote

Die Frage bleibt: Woher kommt $i$ komme aus?

Es ist möglich, komplexe Zahlen formal als Paare von reellen Zahlen mit Regeln für die Arithmetik wie folgt zu definieren:

$(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$

$(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)$

Diese Regeln für die Addition und Multiplikation Arbeit wie erwartet mit Kommutativität, Verteilungsfähigkeit usw.

Dann sind reelle Zahlen nur komplexe Zahlen der Form $(a, 0)$ und wir finden:

$(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)$

Dh $(0, 1)$ ist eine Quadratwurzel von $(-1, 0)$

Dann können wir definieren $i = (0, 1)$ und:

$(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi$