Was ist die Quadratwurzel von -49?

Eine Quadratwurzel einer Zahl #n# ist eine Zahl #x# so dass #x^2 = n#

Beachten Sie, dass wenn #x# ist dann eine reelle Zahl #x^2 >= 0#.

Also jede Quadratwurzel von #-49# ist keine reelle Zahl.

Um Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können, brauchen wir komplexe Zahlen.

Dort ist die mysteriöse Zahl #i# kommt ins Spiel. Dies wird die imaginäre Einheit genannt und hat die Eigenschaft:

#i^2 = -1#

So #i# ist eine Quadratwurzel von #-1#. Beachten Sie, dass #-i# ist auch eine Quadratwurzel von #-1#, schon seit:

#(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1#

Dann finden wir:

#(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49#

So #7i# ist eine Quadratwurzel von #-49#. Beachten Sie, dass #-7i# ist auch eine Quadratwurzel von #-49#.

Was meinen wir damit? das Quadratwurzel von #-49#

Für positive Werte von #n#, das Unter Quadratwurzel wird üblicherweise die Hauptquadratwurzel verstanden #sqrt(n)#, das ist die positive.

Für negative Werte von #n#sind die Quadratwurzeln beide Vielfache von #i#, also weder positiv noch negativ, aber wir können definieren:

#sqrt(n) = i sqrt(-n)#

Mit dieser Definition wird die Hauptquadratwurzel von #-49# ist:

#sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i#

#color(white)()#
Fußnote

Die Frage bleibt: Woher kommt #i# komme aus?

Es ist möglich, komplexe Zahlen formal als Paare von reellen Zahlen mit Regeln für die Arithmetik wie folgt zu definieren:

#(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)#

#(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)#

Diese Regeln für die Addition und Multiplikation Arbeit wie erwartet mit Kommutativität, Verteilungsfähigkeit usw.

Dann sind reelle Zahlen nur komplexe Zahlen der Form #(a, 0)# und wir finden:

#(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)#

Dh #(0, 1)# ist eine Quadratwurzel von #(-1, 0)#

Dann können wir definieren #i = (0, 1)# und:

#(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi#