Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von #ln (x) # nähert?

#lim_(xrarroo)lnx=oo#

Um dies zu sehen, verwenden wir:

#lnx=int_1^x1/tdt#

und

#int_a^bf(t) dt = int_a^c f(t) dt + int_c^bf(t) dt #

und

Wenn, am #[a, b]# Wir haben #f(t)>=m#, dann #int_a^b f(t)dt >=(b-a)*m#

Wir werden uns die Intervalle der Form ansehen: #[2^n, 2^(n+1)]#

On #[1, 2]#, Haben wir #1/t >= 1/2#, damit
#int_1^2 1/tdt >= (2-1)*1/2=1/2#
Und so, #ln2 >= 1/2#

On #[2, 4]#, Haben wir #1/t >= 1/4#, damit
#int_1^4 1/tdt=int_1^2 1/tdt+int_2^4 1/tdt >= 1/2+(4-2)*1/4=1/2+1/2=1#
Und, #ln 4 >= 2/2 =1#

.

Auf jeder #[2^n, 2^(n+1)]#, Haben wir #1/t >= 1/(2^(n+1)# Also das zusätzliche Integral #int_(2^n)^(2^(n+1)) 1/t dt# fügt mehr als

#(2^(n+1)-2^n) * 1/(2^(n+1)) = [2^n(2-1)] * 1/2^(n+1)=(2^n)/2^(n+1)=1/2#

Und so, #ln (2^(n+1)) = int_1^(2^(n+1)) 1/t dt >= (n+1)/2#

So wie #xrarroo#, Haben wir #int_1^x 1/t dt rarr oo#.

Da dieses Integral ist #ln x#, Haben wir #lim_(xrarroo)lnx=oo#

Schreibe einen Kommentar