Was ist die Grenze von (1 + (1 / x)) ^ x, wenn sich x der Unendlichkeit nähert?

Antworten:

Stellen Sie das Limit von (1 + (1 / x)) ^ x so ein, dass x gegen unendlich geht, und zwar gleich einer Variablen, z. B. y, k. und nimm den natürlichen Logarithmus beider Seiten.

Erläuterung:

#y=lim_(x-oo)(1+(1/x))^x#
#ln y =lim_(x-oo)ln (1+(1/x))^x#
#ln y =lim_(x-oo)x ln (1+(1/x))#
#ln y =lim_(x-oo) ln (1+(1/x))/x^-1#
Wenn x direkt ersetzt wird, ist der Wert undefiniert
Die Regel von l'hopital wird angewendet.
l'hopitals Regel besagt, dass wenn #lim_(x-a) f(x) =0= lim_(x-a) g(x)#,
dann #lim_(x-a)(f(x)/g(x)) = lim_(x-a) ((f'(x))/(g'(x)))#
#ln y =lim_(x-oo)((1/(1+(1/x)))(0-1x^-2))/(-1x^-2)#
#ln y =lim_(x-oo)(1/(1+(1/x)))#
ersetze x
#ln y = (1/(1+0))#
#ln y = 1#
Exponential einführen #e#
#e^ln y = e^1#
#y = e#
#y = e = lim_(x-oo)(1+(1/x))^x#
#lim_(x-oo)(1+(1/x))^x = e#

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