Was ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist?

Es sei das äquatoriale ABC-Dreieck in den Kreis mit dem Radius r eingeschrieben

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Wenn wir das Sinusgesetz auf das Dreieck-OBC anwenden, erhalten wir

$a/sin60=r/sin30=>a=r*sin60/sin30=>a=sqrt3*r$

Nun ist die Fläche des beschrifteten Dreiecks

$A=1/2*AM*ΒC$

$AM=AO+OM=r+r*sin30=3/2*r$

und $ΒC=a=sqrt3*r$

Endlich

$A=1/2*(3/2*r)*(sqrt3*r)=1/4*3*sqrt3*r^2$