Was ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist?
Es sei das äquatoriale ABC-Dreieck in den Kreis mit dem Radius r eingeschrieben
Wenn wir das Sinusgesetz auf das Dreieck-OBC anwenden, erhalten wir
a/sin60=r/sin30=>a=r*sin60/sin30=>a=sqrt3*rasin60=rsin30⇒a=r⋅sin60sin30⇒a=√3⋅r
Nun ist die Fläche des beschrifteten Dreiecks
A=1/2*AM*ΒC
AM=AO+OM=r+r*sin30=3/2*r
und ΒC=a=sqrt3*r
Endlich
A=1/2*(3/2*r)*(sqrt3*r)=1/4*3*sqrt3*r^2