Was ist die Ableitung von $y = arctan (4x)$ ?

Antworten
$4/(16x^2 + 1)$

Erläuterung
Erinnern Sie sich zuerst daran $d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)$ .

Über die Kettenregel:

1.) $d/dx[arctan 4x] = 4/((4x)^2 + 1)$

2.) $d/dx[arctan 4x] = 4/(16x^2 + 1)$

Wenn es nicht klar ist warum $d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)$ Lesen Sie weiter, während ich die Identität beweise.

Wir werden einfach mit beginnen

1.) $y = arctan x$ .

Daraus folgt, dass

2.) $tan y = x$ .

Verwenden Sie die implizite Differenzierung und achten Sie darauf, die Kettenregel für zu verwenden $tan y$ , wir kommen an:

3.) $sec^2 y dy/dx = 1$

Lösen für $dy/dx$ gibt uns:

4.) $dy/dx = 1/(sec^2 y)$

Was weiter vereinfacht, um:

5.) $dy/dx = cos^2 y$

Als nächstes ergibt eine Substitution unter Verwendung unserer Anfangsgleichung:

6.) $dy/dx = cos^2(arctan x)$

Dies mag nicht allzu hilfreich sein, aber es gibt eine trigonometrische Identität, die uns helfen kann.

Erinnern $tan^2alpha + 1 = sec^2alpha$ . Dies sieht sehr ähnlich zu dem aus, was wir in Schritt 6 haben. In der Tat, wenn wir ersetzen $alpha$ mit $arctan x$ und schreiben Sie die $sec$ in Hinsicht auf $cos$ dann erhalten wir etwas ziemlich nützliches:

$tan^2(arctan x) + 1 = 1/(cos^2(arctan x))$

Dies vereinfacht Folgendes:

$x^2 + 1 = 1/(cos^2(arctan x))$

Multiplizieren Sie einfach ein paar Dinge und wir erhalten:

$1/(x^2 + 1) = cos^2(arctan x)$

Schön. Jetzt können wir einfach die Gleichung in Schritt 6 einsetzen:

7.) $dy/dx = 1/(x^2 + 1)$

Und voilà - da ist unsere Identität.

Was ist die Ableitung von y = arctan (4x) y = arctan (4x) ?

Was ist die Ableitung von $y = arctan (4x)$ ?