Was ist die Ableitung von # y = arctan (4x) #?

Antworten
#4/(16x^2 + 1)#

Erläuterung
Erinnern Sie sich zuerst daran #d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)#.

Über die Kettenregel:

1.) #d/dx[arctan 4x] = 4/((4x)^2 + 1)#

2.) #d/dx[arctan 4x] = 4/(16x^2 + 1)#

Wenn es nicht klar ist warum #d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)#Lesen Sie weiter, während ich die Identität beweise.

Wir werden einfach mit beginnen

1.) #y = arctan x#.

Daraus folgt, dass

2.) #tan y = x#.

Verwenden Sie die implizite Differenzierung und achten Sie darauf, die Kettenregel für zu verwenden #tan y#, wir kommen an:

3.) #sec^2 y dy/dx = 1#

Lösen für #dy/dx# gibt uns:

4.) #dy/dx = 1/(sec^2 y)#

Was weiter vereinfacht, um:

5.) #dy/dx = cos^2 y#

Als nächstes ergibt eine Substitution unter Verwendung unserer Anfangsgleichung:

6.) #dy/dx = cos^2(arctan x)#

Dies mag nicht allzu hilfreich sein, aber es gibt eine trigonometrische Identität, die uns helfen kann.

Erinnern #tan^2alpha + 1 = sec^2alpha#. Dies sieht sehr ähnlich zu dem aus, was wir in Schritt 6 haben. In der Tat, wenn wir ersetzen #alpha# mit #arctan x#und schreiben Sie die #sec# in Hinsicht auf #cos# dann erhalten wir etwas ziemlich nützliches:

#tan^2(arctan x) + 1 = 1/(cos^2(arctan x))#

Dies vereinfacht Folgendes:

#x^2 + 1 = 1/(cos^2(arctan x))#

Multiplizieren Sie einfach ein paar Dinge und wir erhalten:

#1/(x^2 + 1) = cos^2(arctan x)#

Schön. Jetzt können wir einfach die Gleichung in Schritt 6 einsetzen:

7.) #dy/dx = 1/(x^2 + 1)#

Und voilà - da ist unsere Identität.