Was ist der Unterschied zwischen impliziter und expliziter Differenzierung?

#y = -3/5x+7/5# gibt #y# explizit in Abhängigkeit von #x#.

#3x+5y=7# gibt genau die gleiche Beziehung zwischen #x# und #y#, aber die Funktion ist in der Gleichung implizit (versteckt). Um die Funktion explizit zu machen, lösen wir nach #x#

In #x^2+y^2=25#, #y# ist keine Funktion von #x#. Es gibt jedoch zwei Funktionen, die in der Gleichung impliziert sind. Wir können die Funktionen durch Lösen von explizit machen #y#.

#y = +- sqrt(25-x^2)# ist äquivalent zu der obigen Gleichung und hat 2-Funktionen, die nicht zu schwierig zu erklären sind:

#y=sqrt(25-x^2)# gibt #y# als Funktion von #x# und

#y=-sqrt(25-x^2)# gibt #y# als eine andere Funktion von #x#.

Wir können entweder implizite oder explizite Darstellungen unterscheiden.

Indem wir implizit differenzieren (die Funktionen implizit lassen), erhalten wir

#2x+2y dy/dx = 0# #" "# so #" "# #dy/dx = -x/y#

Die #y# In der Formel für das Derivat ist der Preis angegeben, den wir zahlen, wenn wir die Funktion nicht explizit angeben. Es ersetzt die explizite Form der Funktion.

Für #y=sqrt(25-x^2)#, wir bekommen #dy/dx = - x/sqrt(25-x^2)# (Verwende die Kraft- und Kettenregel) und

in #y= - sqrt(25-x^2)#, wir bekommen #dy/dx = x/sqrt(25-x^2)#.

Die gleichung #y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 # kann nicht algebraisch gelöst werden #y#, (oder wie auch immer, einige 5th-Grad-Gleichungen können nicht gelöst werden), aber es gibt verschiedene Funktionen von #x# implizit in der Gleichung. Sie können sie in der Grafik der Gleichung sehen (siehe unten).

graph{y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 [-7.14, 6.91, -4.66, 2.36]}

Wir können den Graphen in Stücke schneiden, von denen jedes der Graph einer Funktion von ist #x# auf einer Domain.

Implizite Differenzierung erlauben Sie uns, die Ableitung (en) von zu finden #y# in Bezug auf #x# ohne explizite Angabe der Funktion (en). Auf diese Weise können wir die Steigung der Linie ermitteln, die am Punkt tangential zum Graphen liegt #(1,2)#.