Was ist der Unterschied zwischen dem relativen Maximum (oder Minimum) und dem absoluten Maximum (oder Minimum) in Funktionen?

Ein relatives Maximum oder Minimum tritt an Wendepunkten auf der Kurve auf, wobei als absolutes Minimum und Maximum die entsprechenden Werte über den gesamten Bereich der Funktion gelten.

Mit anderen Worten sind das absolute Minimum und Maximum durch den Bereich der Funktion begrenzt.

Beispiel:

Betrachten Sie die Funktion:

# y=x^4-8x^3+22x^2-24x #

Wir können die relativen Minima und Maxima (Wendepunkte) finden, indem wir nach Koordinaten suchen, bei denen die erste Ableitung verschwindet:

# dy/dx = 4x^3 -24x^2+44x-24 #

Das Derivat verschwindet, wenn #dy/dx=0#also wann

# 4x^3 -24x^2+44x-24 = 0 #
# => x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 #
# => (x-1)(x-2)(x-3) = 0 #
# => x=1,2,3 #

Und um die Art der Wendepunkte zu bestimmen, betrachten wir die zweite Ableitung:

# (d^2y)/(dx^2) = 12x^2 -48x+44 #
# (1,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min#
# (2,-8) => (d^2y)/(dx^2) lt 0 => max#
# (3,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min#

Und wir können die Grafik zeichnen, um unsere Ergebnisse zu überprüfen
graph{y=x^4-8x^3+22x^2-24x [-3, 6, -11, 5]}

Also haben wir:

  • Relatives Minimum von #-9# auftretend bei #x=1,3#
  • Relatives Maximum von #-8# auftretend bei #x=2#

Über die gesamte Domain hinweg, wenn wir uns nähern #x=+-oo# Die Funktion nimmt ohne Einschränkung zu. Anschließend:

  • Das absolute Minimum ist auch das lokale Minimum, dh #-9#
  • Das absolute Maximum ist unbegrenzt, dh #oo#

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