Was ist das Limit #lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x #?

#lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = 0#. Wir bestimmen dies unter Verwendung der Krankenhausregel.

In der Regel von L'Hospital wird umschrieben, dass bei einer gegebenen Begrenzung der Form #lim_(x→a)f(x)/g(x)#, Wobei #f(a)# und #g(a)# sind Werte, die dazu führen, dass die Grenze unbestimmt ist (meistens, wenn beide 0 oder eine Form von ∞ sind), solange beide Funktionen an und in der Nähe von stetig und differenzierbar sind #a,# man kann das behaupten

#lim_(x→a)f(x)/g(x)=lim_(x→a)(f'(x))/(g'(x))#

Oder in Worten, die Grenze des Quotienten zweier Funktionen ist gleich der Grenze des Quotienten ihrer Ableitungen.

Im angegebenen Beispiel haben wir #f(x)=cos(x)-1# und #g(x)=x#. Diese Funktionen sind stetig und nahe differenzierbar #x=0, cos(0) -1 =0 and (0)=0#. So ist unsere Initiale #f(a)/g(a)=0/0=?.#

Aus diesem Grund sollten wir die Krankenhausregel anwenden. #d/dx (cos(x) -1)=-sin(x), d/dx x=1#. Somit...

#lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = lim_(x->0)(-sin(x))/1 = -sin(0)/1 = -0/1 = 0#

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