Ladung in einer leitenden Kugelschale?

Antworten:

Innenfläche: #quad sigma_a = q_a/(4pia^2) = -q/(4pia^2)#
Äußere Oberfläche:#quad sigma_b = q_b/(4pib^2) = (Q+q)/(4pib^2)#

Erläuterung:

Da das elektrische Feld Muss zwangsläufig innerhalb des Volumens der leitenden Kugel verschwinden, müssen die Ladungen so driften, dass sich das elektrische Feld aufgrund der Ladung aufhebt #q# In der Mitte.

Innenfläche: Betrachten Sie eine imaginäre Kugel, die die innere Oberfläche des Radius umschließt #a#, gerade außerhalb dieser Oberfläche und innerhalb des Volumens der leitenden Kugel liegen. Durch Gaußsches Gesetz Der elektrische Fluss durch diese Oberfläche steht in Beziehung zur Gesamtbetrag von dieser Fläche eingeschlossen,

Nach dem Gaußschen Gesetz #Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0#
woher #q# ist die Ladung in der Mitte und #q_a# ist die gesamte induzierte Ladung auf der inneren Oberfläche.

Da das elektrische Feld überall innerhalb des Volumens eines guten Leiters verschwindet, ist sein Wert überall auf der von uns betrachteten Gaußschen Oberfläche Null. Das Flächenintegral ist also Null.

#Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0 = 0; qquad rightarrow q_a = -q# ...... (1)
Dies ist die Gesamtladung, die an der Innenfläche induziert wird. Da das elektrische Feld von der zentralen Ladung kugelsymmetrisch ist, muss auch diese induzierte Ladung gleichmäßig verteilt sein.

Die Ladungsdichte auf der inneren Kugel ist also: #sigma_a = q_a/(4pia^2) = -q/(4pia^2)#

Äußere Oberfläche: Die Nettoladung auf der Außenfläche besteht aus zwei Komponenten - freie Ladung #q_b^{"free"} = Q# und induzierte Ladung #q_b^{"ind"}#

#q_b = q_b^{"ind"} + q_b^{"free"} = q_b^{"ind"}+Q#

Da die induzierten Ladungen eine Folge der Polarisation aufgrund des elektrischen Feldes der zentralen Ladung sind, tritt die induzierte Nettoladung auf innere und äußere Oberflächen des guten Leiters muss Null sein:

#q_a + q_b^{"ind"} = 0; qquad q_b^{"ind"} = -q_a#

Schreiben #q_a# in Hinsicht auf #q# mit (1), #quad q_b^{"ind"} = -q_a = q#

Die Gesamtladung an der Außenfläche beträgt also: #q_b = Q + q#

Die Ladungsdichte auf der äußeren Kugel ist also: #sigma_b = q_b/(4pib^2) = (Q+q)/(4pib^2)#

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