Integration von sinx / x von 0 bis unendlich?

Antworten:

$int_0^oo sinx/x dx = pi/2$

Erläuterung:

Wir suchen:

$I = int_0^oo sinx/x dx$

Lassen $g(x) = sinx/x => g(-x) = sin(-x)/(-x) = sinx/x$

So $g(x)$ ist eine gerade Funktion, und als solche:

$2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx$

Betrachten Sie die komplexbasierte Funktion $f(z)=e^(iz)/z$ Welches hat eine einfache Stange an $z=0$ betrachten wir dann das Konturintegral:

$J = oint_C f(z) dz = oint_C e^(iz)/z dz$ where $z in CC$

Woher $C$ ist ein Halbkreis mit Radius $R$ zentriert am Ursprung, der am Ursprung mit einem kleineren Halbkreis verformt ist $epsilon$ schließt den Pol bei aus $z = 0$ und wir verfahren die Kontur gegen den Uhrzeigersinn.

Der Integrand hat keine Pole in $C$ als der Pol $z = 0$ ist bei der obigen Konstruktion ausgeschlossen. So lautet nach Cauchys Satz:

$oint_C f(z) dz = 0$

Nun (in Kurzform),

$oint_C f(z) dz = int_(-R)^(epsilon) + int_(gamma_epsilon) + int_(epsilon)^R + int_(Gamma_R) = 0$

Wir benötigen einen Kostenvoranschlag für $int_(Gamma_R) f(z) dz$ . Bemerken, dass $z=Re^(i theta)$ on $Gamma_R$ , wir haben:

$abs(int_(Gamma_R) e^(iz)/z dz) = abs(int_o^oo e^(iRcos theta-R sin theta) / (Re^(i theta)) iRe^(i theta) d theta )$
$" " le int_0^pi e^(-Rsin theta) d theta$
$" " = 2 int_0^(pi/2) e^(-Rsin theta) d theta$
$" " le 2 int_0^(pi/2) e^((-2R theta) / pi) d theta$ using $sin theta ge (2theta)/pi$
$" " = 2 [ (2e^((-2Rtheta)/pi) )/ ((-2R)/pi) ]_0^(pi/2)$
$" " = pi/R(1-e^-R)$
$" " rarr 0$ as $R rarr oo$

Vorausgesetzt, der kleine Kreis $gamma_epsilon$ hat die Gleichung $z = r(cos theta + isin theta)$ in $theta:pi rarr 0$ dann

$lim_(epsilon rarr 0) int_(gamma_epsilon) f(z) dz = i lim_(epsilon rarr 0) int_pi^0 e^(-rsin theta)e^(ircos theta) dz$
$" " = -pi i$

Die zwei Grenzen nehmen $R rarr oo$ und $epsilon rarr 0$ Und wenn wir all diese Ergebnisse kombinieren, haben wir:

$int_(-oo)^oo e^(iz)/z dz - pi i = 0 => int_(-oo)^oo (cosx+isinx)/x dx = pi i$

Gleichsetzen von realen und imaginären Koeffizienten erhalten wir:

$Re: int_(-oo)^oo cosx/x dx = 0$
$Im: int_(-oo)^oo sinx/x dx = pi$

Verwenden Sie dann das ursprüngliche Ergebnis

$2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx => 2I = pi$

Daher

$I = pi/2$