In 30-60-90-Dreieck, wo die Länge des langen Beins 9 ist, wie lang sind die Hypotenuse und das kurze Bein?

Antworten:

Da es sich um ein 30-60-90-Dreieck handelt, sollte die Hypotenuse sein #6sqrt(3)# und das kurze bein ist #3sqrt(3)#

Erläuterung:

In einem 30-60-90-Dreieck können die Seiten folgendermaßen beschrieben werden:

Kurze Seite: #1#
Hypotenuse: #2#
Lange Seite: #sqrt(3)#

Diese können als Verhältnisse angesehen werden. Wenn Sie es in Bezug auf Sinus und Cosinus betrachten, wird dies etwas klarer, da Sinus und Cosinus das Verhältnis der Seiten ergeben:

#cos(60)="short"/"hyp"=1/2 rArr "short"=1, "hyp"=2#

#sin(60)="long"/"hyp"=sqrt(3)/2 rArr "long"=sqrt(3), "hyp"=2#

#tan(60)="long"/"short"=sqrt(3) rArr "long"=sqrt(3), "short"=1#

Da wir die Verhältnisse kennen, können wir sie mit einer Konstanten multiplizieren, #x#

#"short"=1x=x#

#"hyp"=2x#

#"long"=sqrt(3)x=9#

Nachdem wir nun eine Gleichung haben, die die Länge des langen Beins in Bezug auf die Seitenverhältnisse beschreibt, können wir lösen #x#, und lösen Sie schnell für die kurze Seite und Hypotenuse:

#sqrt(3)x=9 rArr x=9/sqrt(3)=3*sqrt(3)^2/sqrt(3)#

#color(red)(x=3sqrt(3))#

#color(blue)("short"=x=3sqrt(3))#

#color(green)("hyp"=2x=6sqrt(3))#

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