Finden Sie die Werte von # x #, für die die folgende Reihe konvergent ist?

Wenn Sie versuchen, den Radius und / oder das Konvergenzintervall solcher Potenzreihen zu bestimmen, verwenden Sie am besten den Ratio-Test, der für eine Reihe aussagt #suma_n#, wir lassen

#L=lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|#.

If #L<1# die serie ist absolut konvergent (und damit konvergent)

If #L>1#divergiert die Serie.

If #L=1,# Der Ratio-Test ist nicht schlüssig.

Für die Power-Serie sind jedoch drei Fälle möglich

ein. Die Potenzreihe konvergiert für alle reellen Zahlen; sein Konvergenzintervall ist #(-oo, oo)#
b. Die Potenzreihe konvergiert für eine bestimmte Anzahl #x=a;# sein Konvergenzradius ist Null.
c. Am häufigsten konvergiert die Potenzreihe für #|x-a|<R# mit einem Konvergenzintervall von #a-R<x<a+R# wo müssen wir die Endpunkte testen, um zu sehen, was mit ihnen passiert.

Also hier,

#a_n=(2x-3)^n#

#a_(n+1)=(2x-3)^(n+1)=(2x-3)(2x-3)^n#

Wenden Sie also den Ratio-Test an:

#lim_(n->oo)|((cancel((2x-3)^n)(2x-3))/cancel((2x-3)^n))|#

#|2x-3|lim_(n->oo)1=|2x-3|#

Also, wenn #|2x-3|<1#konvergiert die Serie. Aber wir brauchen das in der Form #|x-a|<R:#

#|2(x-3/2)|<1#

#2|x-3/2|<1#

#|x-3/2|<1/2# führt zu Konvergenz. Der Konvergenzradius ist #R=1/2.#

Bestimmen wir nun das Intervall:

#-1/2<x-3/2<1/2#

#-1/2+3/2<x<1/2+3/2#

#1<x<2#

Wir müssen einstecken #x=1, x=2# in die ursprüngliche Reihe, um zu sehen, ob wir an diesen Endpunkten Konvergenz oder Divergenz haben.

#x=1: sum_(n=0)^oo(2(1)-3)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^n# divergiert, der Summand hat kein Limit und geht bestimmt nicht auf Null, sondern wechselt nur die Vorzeichen.

#x=2: sum_(n=0)^oo(4-3)^n=sum_(n=0)^oo1# divergiert auch durch den Divergenztest, #lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)1=1 ne 0#

Daher konvergiert die Reihe um #1<x<2#