Finden Sie die Werte von `x`, für die die folgende Reihe konvergent ist?

Wenn Sie versuchen, den Radius und / oder das Konvergenzintervall solcher Potenzreihen zu bestimmen, verwenden Sie am besten den Ratio-Test, der für eine Reihe aussagt `suma_n`, wir lassen

`L=lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|`.

If `L<1` die serie ist absolut konvergent (und damit konvergent)

If `L>1`divergiert die Serie.

If `L=1,` Der Ratio-Test ist nicht schlüssig.

Für die Power-Serie sind jedoch drei Fälle möglich

ein. Die Potenzreihe konvergiert für alle reellen Zahlen; sein Konvergenzintervall ist `(-oo, oo)`
b. Die Potenzreihe konvergiert für eine bestimmte Anzahl `x=a;` sein Konvergenzradius ist Null.
c. Am häufigsten konvergiert die Potenzreihe für `|x-a|<R` mit einem Konvergenzintervall von `a-R<x<a+R` wo müssen wir die Endpunkte testen, um zu sehen, was mit ihnen passiert.

Also hier,

`a_n=(2x-3)^n`

`a_(n+1)=(2x-3)^(n+1)=(2x-3)(2x-3)^n`

Wenden Sie also den Ratio-Test an:

`lim_(n->oo)|((cancel((2x-3)^n)(2x-3))/cancel((2x-3)^n))|`

`|2x-3|lim_(n->oo)1=|2x-3|`

Also, wenn `|2x-3|<1`konvergiert die Serie. Aber wir brauchen das in der Form `|x-a|<R:`

`|2(x-3/2)|<1`

`2|x-3/2|<1`

`|x-3/2|<1/2` führt zu Konvergenz. Der Konvergenzradius ist `R=1/2.`

Bestimmen wir nun das Intervall:

`-1/2<x-3/2<1/2`

`-1/2+3/2<x<1/2+3/2`

`1<x<2`

Wir müssen einstecken `x=1, x=2` in die ursprüngliche Reihe, um zu sehen, ob wir an diesen Endpunkten Konvergenz oder Divergenz haben.

`x=1: sum_(n=0)^oo(2(1)-3)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^n` divergiert, der Summand hat kein Limit und geht bestimmt nicht auf Null, sondern wechselt nur die Vorzeichen.

`x=2: sum_(n=0)^oo(4-3)^n=sum_(n=0)^oo1` divergiert auch durch den Divergenztest, `lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)1=1 ne 0`

Daher konvergiert die Reihe um `1<x<2`