Finden Sie den Punkt auf der Parabel y = x², der dem Punkt am nächsten liegt (-3,0)?

Antworten:

$(x,y) = (-1,1)$ ist der nächste Punkt auf $y=x^2$ zu $(-3,0)$

Erläuterung:

Die Entfernung von jedem Punkt $(x,y)$ bis zu einem Punkt $(hatx,haty)$ is
$color(white)("XXX")$ $sqrt((x-hatx)^2+(y-haty)^2)$

Für Punkte weiter $y=x^2$ das wird
$color(white)("XXX")d(x)=sqrt((x-hatx)^2+(x^2-haty)^2)$
und
genauer gesagt für den Punkt $(hatx,haty)=(-3,0)$ das wird
$color(white)("XXX")sqrt((x+3)^2+(x^2-0)^2)$

$color(white)("XX") = sqrt(x^4+x^2+6x+9)$

Das Problem ist zu minimieren $d(x)$
oder gleichwertig (aber etwas einfacher) zu minimieren
$color(white)("XXX")f(x)=x^4+x^2+6x+9$

Das Minimum tritt auf, wenn $f'(x)= 0$
Das ist wenn
$color(white)("XXX")4x^3+2x+6=0$

Eine offensichtliche (durch Inspektion) Wurzel ist $x=-1$
(und in der Tat gibt es keine anderen wirklichen Wurzeln)

If $x=-1$
dann $y=x^2 = (-1)^2 =1$