Finden Sie den Punkt auf der Parabel y = x², der dem Punkt am nächsten liegt (-3,0)?

Antworten:

#(x,y) = (-1,1)# ist der nächste Punkt auf #y=x^2# zu #(-3,0)#

Erläuterung:

Die Entfernung von jedem Punkt #(x,y)# bis zu einem Punkt #(hatx,haty)# is
#color(white)("XXX")##sqrt((x-hatx)^2+(y-haty)^2)#

Für Punkte weiter #y=x^2# das wird
#color(white)("XXX")d(x)=sqrt((x-hatx)^2+(x^2-haty)^2)#
und
genauer gesagt für den Punkt #(hatx,haty)=(-3,0)# das wird
#color(white)("XXX")sqrt((x+3)^2+(x^2-0)^2)#

#color(white)("XX") = sqrt(x^4+x^2+6x+9)#

Das Problem ist zu minimieren #d(x)#
oder gleichwertig (aber etwas einfacher) zu minimieren
#color(white)("XXX")f(x)=x^4+x^2+6x+9#

Das Minimum tritt auf, wenn #f'(x)= 0#
Das ist wenn
#color(white)("XXX")4x^3+2x+6=0#

Eine offensichtliche (durch Inspektion) Wurzel ist #x=-1#
(und in der Tat gibt es keine anderen wirklichen Wurzeln)

If #x=-1#
dann #y=x^2 = (-1)^2 =1#

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