Erweiterung der Maclaurin-Reihe von cos ^ 2x?

Antworten:

$cos^2x = 1 - x^2+ 1/3x^4 + ... =((-1)^n(2x)^(2n))/(2(2n)!)$

Erläuterung:

Erinnere dich daran

$cos(2x) = 2cos^2x - 1$

Lassen $x = cos^2x$ und $y = cos(2x)$ . Dann

$y = 2x -1$

$(y + 1)/2 = x$

$(cos(2x)+ 1)/2 = cos^2x$

Wir können jetzt die Tatsache nutzen, dass

$cosx = 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) +... =sum_(n = 0)^oo(-1)^nx^(2n)/((2n)!)$

Um das zu sehen

$cos(2x) = 1 - (2x)^2/(2!) + (2x)^4/(4!) + ... = sum_(n = 0)^oo (-1)^n(2x)^(2n)/((2n!)$

$cos(2x) + 1 = 2 -(4x^2)/(2!) + (2x)^4/(4!) + ... = sum_(n = 0)^oo ((-1)^n(2x)^(2n))/((2n)!)$

$(cos(2x) + 1)/2 = 1 - x^2+ 1/3x^4 + ... =((-1)^n(2x)^(2n))/(2(2n)!)$

Hoffentlich hilft das!