Eine Torte wird aus einem 375 ° F-Ofen entnommen und nach 215 Minuten in einem Raum bei 15 ° F auf 72 ° F abgekühlt. Wie lange (von dem Zeitpunkt an, an dem es aus dem Ofen genommen wird) dauert es, bis der Kuchen auf 72 ° F abgekühlt ist?

Antworten:

Es wird mindestens dauern #150.5# Minuten abkühlen lassen, um sich zu schließen #72^oF#

Erläuterung:

Newtons Gesetz der Kühlung gibt an, dass die Abkühlungsrate eines Objekts umgekehrt proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Objekt und seiner Umgebung ist, d. h #(dT)/(dt)=-kT#, Wobei #t# ist die Zeit und #T# ist der Unterschied der Temperaturen zwischen dem Objekt und seiner Umgebung.

Das gibt uns #T# als Funktion von #t# und ist gegeben durch #T(t)=ce^(-kt)#.

Damit wird es unendlich lange dauern, bis das Objekt auf Raumtemperatur abgekühlt ist, wenn #T(t)=0#. Nehmen wir dennoch an, dass es sich abkühlt #72.5^oF# oder weniger, was rundbar ist auf #72^oF# und Arbeit it out.

Jetzt als #T(0)=ce^(-kxx0)=c=375-72=303# und

#T(15)=303xxe^(-15k)=375^oF-215^oF=160^oF# or #e^(-15k)=160/303#

und #-15k=ln(160/303)=-0.638559# or #k=0.638559/15=0.0425706#

Wenn sich der Kuchen abkühlt #72.5^oF# in #t# Minuten dann

#303e^(-0.0425706xxt)=0.5# or #e^(-0.0425706xxt)=0.5/303=0.00165017#

or #-0.0425706t=ln0.00165017=-6.40688#

or #t=6.40688/0.0425706=150.5#

Daher wird es mindestens dauern #150.5# Minuten abkühlen lassen, um sich zu schließen #72^oF#

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