Eine Torte wird aus einem 375 ° F-Ofen entnommen und nach 215 Minuten in einem Raum bei 15 ° F auf 72 ° F abgekühlt. Wie lange (von dem Zeitpunkt an, an dem es aus dem Ofen genommen wird) dauert es, bis der Kuchen auf 72 ° F abgekühlt ist?

Antworten:

Es wird mindestens dauern $150.5$ $150.5$ Minuten abkühlen lassen, um sich zu schließen $72^{o} F$ $72^oF$

Erläuterung:

Newtons Gesetz der Kühlung gibt an, dass die Abkühlungsrate eines Objekts umgekehrt proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Objekt und seiner Umgebung ist, d. h $\frac{d T}{d t} = - k T$ $(dT)/(dt)=-kT$ , Wobei $t$ $t$ ist die Zeit und $T$ $T$ ist der Unterschied der Temperaturen zwischen dem Objekt und seiner Umgebung.

Das gibt uns $T$ $T$ als Funktion von $t$ $t$ und ist gegeben durch $T (t) = c e^{- k t}$ $T(t)=ce^(-kt)$ .

Damit wird es unendlich lange dauern, bis das Objekt auf Raumtemperatur abgekühlt ist, wenn $T (t) = 0$ $T(t)=0$ . Nehmen wir dennoch an, dass es sich abkühlt ${72.5}^{o} F$ $72.5^oF$ oder weniger, was rundbar ist auf $72^{o} F$ $72^oF$ und Arbeit it out.

Jetzt als $T (0) = c e^{- k \times 0} = c = 375 - 72 = 303$ $T(0)=ce^(-kxx0)=c=375-72=303$ und

$T (15) = 303 \times e^{- 15 k} = 375^{o} F - 215^{o} F = 160^{o} F$ $T(15)=303xxe^(-15k)=375^oF-215^oF=160^oF$ or $e^{- 15 k} = \frac{160}{303}$ $e^(-15k)=160/303$

und $- 15 k = ln (\frac{160}{303}) = - 0.638559$ $-15k=ln(160/303)=-0.638559$ or $k = \frac{0.638559}{15} = 0.0425706$ $k=0.638559/15=0.0425706$

Wenn sich der Kuchen abkühlt ${72.5}^{o} F$ $72.5^oF$ in $t$ $t$ Minuten dann

$303 e^{- 0.0425706 \times t} = 0.5$ $303e^(-0.0425706xxt)=0.5$ or $e^{- 0.0425706 \times t} = \frac{0.5}{303} = 0.00165017$ $e^(-0.0425706xxt)=0.5/303=0.00165017$

or $- 0.0425706 t = ln 0.00165017 = - 6.40688$ $-0.0425706t=ln0.00165017=-6.40688$

or $t = \frac{6.40688}{0.0425706} = 150.5$ $t=6.40688/0.0425706=150.5$

Daher wird es mindestens dauern $150.5$ $150.5$ Minuten abkühlen lassen, um sich zu schließen $72^{o} F$ $72^oF$