Ein Ballon steigt mit einer Geschwindigkeit von 8 ft / sec von einem Punkt auf dem Boden 60 ft vom Beobachter entfernt auf. Wie ermitteln Sie die Änderungsrate des Höhenwinkels, wenn sich der Ballon 1 m über dem Boden befindet?

So lösen Sie das Problem mit den zugehörigen Wechselkursen:

Lassen $y$ = die Höhe des Ballons und lassen $theta$ = der Höhenwinkel.
Uns wird das gesagt $(dy)/(dt)=8$ ft / sec.
Wir werden gebeten zu finden $(d theta)/(dt)$ wann $y=25$ ft.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit base = 60 ft (das ändert sich nicht), height $y$ und Winkel entgegengesetzte Höhe $theta$ .

Dann $tan theta = y/60$ und $y=60 tan theta$ .

Unterscheidung in Bezug auf $t$ gibt uns:

$d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)$ .

$(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)$ .

Wir werden gebeten zu finden $(d theta)/(dt)$ wann $y=25$ .

Wir haben: $8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)$ , damit

$(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 theta$ .

Wir brauchen $cos theta$ wann $y=25$ .
Mit base = 60 und height = 25 bekommen wir Hypotneuse $c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65$ .

Also, wann $y=25$ , wir haben: $cos theta = 60/65=12/13$ .

So
$(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845$ Bogenmaß / Sek

.
(Denken Sie daran, um zu verwenden $d/(d theta)(tan theta) = sec^2 theta$ , Wir müssen haben $theta$ entweder eine reelle Zahl oder das Bogenmaß (nicht Grad) eines Winkels.)