Die Höhe eines Dreiecks nimmt mit einer Geschwindigkeit von 1.5 cm / min zu, während die Fläche des Dreiecks mit einer Geschwindigkeit von 5 cm / min quadratisch zunimmt. Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Basis des Dreiecks, wenn die Höhe 9 cm und die Fläche 81 cm² beträgt?

Dies ist ein verwandtes Ratenproblem.

Die interessierenden Variablen sind
$a$ = Höhe
$A$ = Fläche und, da die Fläche eines Dreiecks ist $A=1/2ba$ , wir brauchen
$b$ = Basis.

Die angegebenen Änderungsraten sind in Einheiten pro Minute angegeben, daher ist die (unsichtbare) unabhängige Variable $t$ = Zeit in Minuten.

Wir erhalten:
$(da)/dt = 3/2$ cm / min

$(dA)/dt = 5$ cm $""^2$ / Min

Und wir werden gebeten, zu finden $(db)/dt$ wann $a = 9$ cm und $A = 81$ cm $""^2$

$A=1/2ba$ , differenzierend in Bezug auf $t$ , wir bekommen:

$d/dt(A)=d/dt(1/2ba)$ .

Wir werden das brauchen Produktregel auf der rechten Seite.

$(dA)/dt = 1/2 (db)/dt a + 1/2b (da)/dt$

Wir bekamen jeden Wert außer $(db)/dt$ (was wir versuchen zu finden) und $b$ . Verwenden Sie die Formel für Fläche und die angegebenen Werte von $a$ und $A$ , wir können das sehen $b=18$ cm.

Ersetzen:

$5= 1/2 (db)/dt (9)+1/2(18)3/2$

Lösen für $(db)/dt = -17/9$ cm / min.

Die Basis nimmt ab $17/9$ cm / min.