Das von den Koordinatenebenen eingeschlossene Tetraeder und die Ebene 2x + y + z = 4, wie finden Sie das Volumen?

Sie müssen nicht einmal Integrale verwenden, um das Volumen zu finden, aber Sie können, denke ich.

ich habe #16/3# von der Verwendung von Dreifachintegralen und von der Verwendung eines visuellen Ansatzes.


VISUELLER ANSATZ

Für dieses Flugzeug, da es sich mit dem schneidet #xy#, #xz#, und #yz# Flugzeuge, es macht ein Viertel einer rhomboiden Pyramide. Alles was wir tun müssen ist:

  1. Finde die Kreuzungen
  2. Bestimmen Sie die Länge jeder diagonalen Distanz
  3. Ermitteln Sie das Volumen der gesamten hypothetischen Rhomboidpyramide
  4. Teilen durch #4#

Die Kreuzungen befinden sich am #x#, #y#, und #z# Achse.

  • Eine Kreuzung befindet sich auf der #x#-Achse, das ist wann #y = z = 0#. Somit, #x = 2#.
  • Eine Kreuzung befindet sich auf der #y#-Achse, das ist wann #x = z = 0#. Somit, #y = 4#.
  • Eine Kreuzung befindet sich auf der #z#-Achse, das ist wann #x = y = 0#. Somit, #z = 4#.

Also sind die drei Kreuzungen #(2,0,0)#, #(0,4,0)#, und #(0,0,4)#von Entfernungen #2#, #4#, und #4#jeweils von #(0,0,0)#.

  • Von dem #z# Kreuzung erhalten wir die Höhe der hypothetischen rhomboiden Pyramide.
  • Von dem #x# und #y# Kreuzungen bekommen wir Hälfte von jedem diagonalen Abstand über die hypothetische Basis.

Das Volumen des Ganzen Rautenpyramide wäre gewesen:

#mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)#

Das Gebiet der symmetrische Rhombusbasis ist dann vier mal die Fläche von jeder dreieckige Abschnitt, das ist der Bereich, der von #y = 4 - 2x# und die #x# und #y# Achsen.

#x# und #y# wird die Höhe des Dreiecks, und wir lösen für seine Fläche als #A_"triangle" = 1/2xy#. Somit:

#A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16#

Oder wir hätten die Formel für das verwenden können Bereich einer Raute ("Diagonalen Methode"), die verwendet #2x# und #2y# wie die Diagonalen #p# und #q#.

#A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16#

Schließlich durch den Bau der Volumen des ursprünglichen Tetraeders ist dann ein Viertel des Volumens unserer hypothetischen Rhomboidpyramide:

#color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]#

#= 1/4*1/3[16*4]#

#= 1/4*64/3#

#= color(blue)(16/3)#


CALCULUS III-ANSATZ

Ein alternativer Ansatz dazu mit Dreifachintegrale beinhaltet die Integration jeder Dimension zu einem Zeitpunkt.

#=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)#

Was wir haben, ist #x_1 = y_1 = z_1 = 0#, da die Untergrenze jede Koordinatenebene ist. Das heißt, wir wissen das #x,y,z >= 0#Wir sind also an diese Werte gebunden.

Als nächstes lösen wir die Gleichung für jede einzelne Variable, um die oberen Grenzen zu erhalten.

  • Lösen für #z_2#, wir bekommen #color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)#.

Note: our integration element can't have #x = y = 0#, because #z = 4 - 2x# is our #xz#-plane triangle, and #y# allows us to integrate with respect to #y# later. This is our projection along the #mathbf(y)# axis.

  • Lösen für #y_2#stellen wir fest, dass in drei Dimensionen gibt es zwei Kreuzungen auf der #xy#-Flugzeug: wann #x = 0#Und, wenn #y = 0#. Wir können beide in eine 2-Variablengleichung aufnehmen, wenn #z = 0# bekommen:

#color(green)(y_2 = 4 - 2x)#

Note: our integration element can't have #x = 0#, because #y = 4# is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to #x# later. This is our projection along the #mathbf(x)# axis.

  • Lösen für #x_2#finden wir wo #4 - 2x# schneidet die #x#-Achse: wann #z = 0# und #y = 0#. Daher arbeiten wir aus der Anfangsgleichung, um Folgendes zu erhalten:

#2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 4#

#color(green)(x_2 = 2)#

Insgesamt sollten wir uns das vorstellen #xz#-Flugzeug gebaut von der #x# und #z# fängt ab, nach außen entlang der projiziert #mathbf(y)# Achse, begrenzt:

so:

um den Tetraeder zu erzeugen:

So funktionieren unsere Integrale von innen nach außen:

#int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx#

#= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx#

Nun zum "partiellen" Integral in Bezug auf #y# (die Umkehrung der partiellen Ableitung in Bezug auf #y#). So, #x# ist eine Konstante.

#= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx#

#= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx#

#= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx#

#= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx#

#= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx#

Schließlich das Integral in Bezug auf #x# Es ist einfacher, mit nur einer Variablen umzugehen.

#= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx#

#= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)#

#= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])#

#= 32 + 16/3 - 16 - 16#

#= color(blue)(16/3)#

... passend zum intuitiven, visuellen Ansatz! 🙂

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