Das von den Koordinatenebenen eingeschlossene Tetraeder und die Ebene 2x + y + z = 4, wie finden Sie das Volumen?
Sie müssen nicht einmal Integrale verwenden, um das Volumen zu finden, aber Sie können, denke ich.
ich habe 16/3163 von der Verwendung von Dreifachintegralen und von der Verwendung eines visuellen Ansatzes.
VISUELLER ANSATZ
Für dieses Flugzeug, da es sich mit dem schneidet xyxy, xzxz, und yzyz Flugzeuge, es macht ein Viertel einer rhomboiden Pyramide. Alles was wir tun müssen ist:
- Finde die Kreuzungen
- Bestimmen Sie die Länge jeder diagonalen Distanz
- Ermitteln Sie das Volumen der gesamten hypothetischen Rhomboidpyramide
- Teilen durch 44
Die Kreuzungen befinden sich am xx, yy, und zz Achse.
- Eine Kreuzung befindet sich auf der xx-Achse, das ist wann y = z = 0y=z=0. Somit, x = 2x=2.
- Eine Kreuzung befindet sich auf der yy-Achse, das ist wann x = z = 0x=z=0. Somit, y = 4y=4.
- Eine Kreuzung befindet sich auf der zz-Achse, das ist wann x = y = 0x=y=0. Somit, z = 4z=4.
Also sind die drei Kreuzungen (2,0,0)(2,0,0), (0,4,0)(0,4,0), und (0,0,4)(0,0,4)von Entfernungen 22, 44, und 44jeweils von (0,0,0)(0,0,0).
- Von dem zz Kreuzung erhalten wir die Höhe der hypothetischen rhomboiden Pyramide.
- Von dem xx und yy Kreuzungen bekommen wir Hälfte von jedem diagonalen Abstand über die hypothetische Basis.
Das Volumen des Ganzen Rautenpyramide wäre gewesen:
mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)Vtetrahedron=13Abaseh
Das Gebiet der symmetrische Rhombusbasis ist dann vier mal die Fläche von jeder dreieckige Abschnitt, das ist der Bereich, der von y = 4 - 2xy=4−2x und die xx und yy Achsen.
xx und yy wird die Höhe des Dreiecks, und wir lösen für seine Fläche als A_"triangle" = 1/2xyAtriangle=12xy. Somit:
A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16Abase=4(12xy)=2xy=2(2)(4)=16
Oder wir hätten die Formel für das verwenden können Bereich einer Raute ("Diagonalen Methode"), die verwendet 2x2x und 2y2y wie die Diagonalen pp und qq.
A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16Abase=pq2=(2x)(2y)2=2xy=16
Schließlich durch den Bau der Volumen des ursprünglichen Tetraeders ist dann ein Viertel des Volumens unserer hypothetischen Rhomboidpyramide:
color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]Vtetrahedron=14[13Ah]
= 1/4*1/3[16*4]=14⋅13[16⋅4]
= 1/4*64/3=14⋅643
= color(blue)(16/3)=163
CALCULUS III-ANSATZ
Ein alternativer Ansatz dazu mit Dreifachintegrale beinhaltet die Integration jeder Dimension zu einem Zeitpunkt.
=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)⇒∫x2x1∫y2y1∫z2z1dzdydx
Was wir haben, ist x_1 = y_1 = z_1 = 0x1=y1=z1=0, da die Untergrenze jede Koordinatenebene ist. Das heißt, wir wissen das x,y,z >= 0x,y,z≥0Wir sind also an diese Werte gebunden.
Als nächstes lösen wir die Gleichung für jede einzelne Variable, um die oberen Grenzen zu erhalten.
- Lösen für z_2z2, wir bekommen color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)z2=4−2x−y.
Note: our integration element can't have x = y = 0x=y=0, because z = 4 - 2xz=4−2x is our xzxz-plane triangle, and yy allows us to integrate with respect to yy later. This is our projection along the mathbf(y)y axis.
- Lösen für y_2y2stellen wir fest, dass in drei Dimensionen gibt es zwei Kreuzungen auf der xyxy-Flugzeug: wann x = 0x=0Und, wenn y = 0y=0. Wir können beide in eine 2-Variablengleichung aufnehmen, wenn z = 0z=0 bekommen:
color(green)(y_2 = 4 - 2x)y2=4−2x
Note: our integration element can't have x = 0x=0, because y = 4y=4 is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to xx later. This is our projection along the mathbf(x)x axis.
- Lösen für x_2x2finden wir wo 4 - 2x4−2x schneidet die xx-Achse: wann z = 0z=0 und y = 0y=0. Daher arbeiten wir aus der Anfangsgleichung, um Folgendes zu erhalten:
2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 42x2=4−z−y⇒2x2=4
color(green)(x_2 = 2)x2=2
Insgesamt sollten wir uns das vorstellen xzxz-Flugzeug gebaut von der xx und zz fängt ab, nach außen entlang der projiziert mathbf(y)y Achse, begrenzt:
- Von oben durch die z = 4 - 2x - yz=4−2x−y Ebene
- Von der rechten oberen Seite des xyxy-Flugzeug von das y = 4 - 2xy=4−2x Linie
- Von links durch die yzyz-Ebene
- Von unten durch die xyxy-Ebene
so:
um den Tetraeder zu erzeugen:
So funktionieren unsere Integrale von innen nach außen:
int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx∫20∫4−2x0∫4−2x−y01dzdydx
= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx=∫20∫4−2x04−2x−ydydx
Nun zum "partiellen" Integral in Bezug auf yy (die Umkehrung der partiellen Ableitung in Bezug auf yy). So, xx ist eine Konstante.
= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx=∫20∣∣∣[4y−2xy−y22]∣∣∣4−2x0dx
= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx
= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx
= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx
= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx
Schließlich das Integral in Bezug auf x Es ist einfacher, mit nur einer Variablen umzugehen.
= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx
= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)
= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])
= 32 + 16/3 - 16 - 16
= color(blue)(16/3)
... passend zum intuitiven, visuellen Ansatz!