Das von den Koordinatenebenen eingeschlossene Tetraeder und die Ebene 2x + y + z = 4, wie finden Sie das Volumen?

Sie müssen nicht einmal Integrale verwenden, um das Volumen zu finden, aber Sie können, denke ich.

ich habe $16/3$ von der Verwendung von Dreifachintegralen und von der Verwendung eines visuellen Ansatzes.

VISUELLER ANSATZ

Für dieses Flugzeug, da es sich mit dem schneidet $xy$ , $xz$ , und $yz$ Flugzeuge, es macht ein Viertel einer rhomboiden Pyramide. Alles was wir tun müssen ist:

Finde die Kreuzungen
Bestimmen Sie die Länge jeder diagonalen Distanz
Ermitteln Sie das Volumen der gesamten hypothetischen Rhomboidpyramide
Teilen durch $4$

Die Kreuzungen befinden sich am $x$ , $y$ , und $z$ Achse.

Eine Kreuzung befindet sich auf der $x$ -Achse, das ist wann $y = z = 0$ . Somit, $x = 2$ .
Eine Kreuzung befindet sich auf der $y$ -Achse, das ist wann $x = z = 0$ . Somit, $y = 4$ .
Eine Kreuzung befindet sich auf der $z$ -Achse, das ist wann $x = y = 0$ . Somit, $z = 4$ .

Also sind die drei Kreuzungen $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ , und $(0,0,4)$ von Entfernungen $2$ , $4$ , und $4$ jeweils von $(0,0,0)$ .

Von dem $z$ Kreuzung erhalten wir die Höhe der hypothetischen rhomboiden Pyramide.
Von dem $x$ und $y$ Kreuzungen bekommen wir Hälfte von jedem diagonalen Abstand über die hypothetische Basis.

Das Volumen des Ganzen Rautenpyramide wäre gewesen:

$mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)$

Das Gebiet der symmetrische Rhombusbasis ist dann vier mal die Fläche von jeder dreieckige Abschnitt, das ist der Bereich, der von $y = 4 - 2x$ und die $x$ und $y$ Achsen.

$x$ und $y$ wird die Höhe des Dreiecks, und wir lösen für seine Fläche als $A_"triangle" = 1/2xy$ . Somit:

$A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16$

Oder wir hätten die Formel für das verwenden können Bereich einer Raute ("Diagonalen Methode"), die verwendet $2x$ und $2y$ wie die Diagonalen $p$ und $q$ .

$A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16$

Schließlich durch den Bau der Volumen des ursprünglichen Tetraeders ist dann ein Viertel des Volumens unserer hypothetischen Rhomboidpyramide:

$color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]$

$= 1/4*1/3[16*4]$

$= 1/4*64/3$

$= color(blue)(16/3)$

CALCULUS III-ANSATZ

Ein alternativer Ansatz dazu mit Dreifachintegrale beinhaltet die Integration jeder Dimension zu einem Zeitpunkt.

$=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)$

Was wir haben, ist $x_1 = y_1 = z_1 = 0$ , da die Untergrenze jede Koordinatenebene ist. Das heißt, wir wissen das $x,y,z >= 0$ Wir sind also an diese Werte gebunden.

Als nächstes lösen wir die Gleichung für jede einzelne Variable, um die oberen Grenzen zu erhalten.

Lösen für $z_2$ , wir bekommen $color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)$ .

Note: our integration element can't have $x = y = 0$ , because $z = 4 - 2x$ is our $xz$ -plane triangle, and $y$ allows us to integrate with respect to $y$ later. This is our projection along the $mathbf(y)$ axis.

Lösen für $y_2$ stellen wir fest, dass in drei Dimensionen gibt es zwei Kreuzungen auf der $xy$ -Flugzeug: wann $x = 0$ Und, wenn $y = 0$ . Wir können beide in eine 2-Variablengleichung aufnehmen, wenn $z = 0$ bekommen:

$color(green)(y_2 = 4 - 2x)$

Note: our integration element can't have $x = 0$ , because $y = 4$ is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to $x$ later. This is our projection along the $mathbf(x)$ axis.

Lösen für $x_2$ finden wir wo $4 - 2x$ schneidet die $x$ -Achse: wann $z = 0$ und $y = 0$ . Daher arbeiten wir aus der Anfangsgleichung, um Folgendes zu erhalten:

$2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 4$

$color(green)(x_2 = 2)$

Insgesamt sollten wir uns das vorstellen $xz$ -Flugzeug gebaut von der $x$ und $z$ fängt ab, nach außen entlang der projiziert $mathbf(y)$ Achse, begrenzt:

Von oben durch die $z = 4 - 2x - y$ Ebene
Von der rechten oberen Seite des $xy$ -Flugzeug von das $y = 4 - 2x$ Linie
Von links durch die $yz$ -Ebene
Von unten durch die $xy$ -Ebene

so:

um den Tetraeder zu erzeugen:

So funktionieren unsere Integrale von innen nach außen:

$int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx$

$= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx$

Nun zum "partiellen" Integral in Bezug auf $y$ (die Umkehrung der partiellen Ableitung in Bezug auf $y$ ). So, $x$ ist eine Konstante.

$= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx$

$= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx$

$= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx$

$= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx$

$= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx$

Schließlich das Integral in Bezug auf $x$ Es ist einfacher, mit nur einer Variablen umzugehen.

$= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx$

$= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)$

$= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])$

$= 32 + 16/3 - 16 - 16$

$= color(blue)(16/3)$

... passend zum intuitiven, visuellen Ansatz!