Das von den Koordinatenebenen eingeschlossene Tetraeder und die Ebene 2x + y + z = 4, wie finden Sie das Volumen?

Sie müssen nicht einmal Integrale verwenden, um das Volumen zu finden, aber Sie können, denke ich.

ich habe $\frac{16}{3}$ $16/3$ von der Verwendung von Dreifachintegralen und von der Verwendung eines visuellen Ansatzes.

VISUELLER ANSATZ

Für dieses Flugzeug, da es sich mit dem schneidet $x y$ $xy$ , $x z$ $xz$ , und $y z$ $yz$ Flugzeuge, es macht ein Viertel einer rhomboiden Pyramide. Alles was wir tun müssen ist:

Finde die Kreuzungen
Bestimmen Sie die Länge jeder diagonalen Distanz
Ermitteln Sie das Volumen der gesamten hypothetischen Rhomboidpyramide
Teilen durch $4$ $4$

Die Kreuzungen befinden sich am $x$ $x$ , $y$ $y$ , und $z$ $z$ Achse.

Eine Kreuzung befindet sich auf der $x$ $x$ -Achse, das ist wann $y = z = 0$ $y = z = 0$ . Somit, $x = 2$ $x = 2$ .
Eine Kreuzung befindet sich auf der $y$ $y$ -Achse, das ist wann $x = z = 0$ $x = z = 0$ . Somit, $y = 4$ $y = 4$ .
Eine Kreuzung befindet sich auf der $z$ $z$ -Achse, das ist wann $x = y = 0$ $x = y = 0$ . Somit, $z = 4$ $z = 4$ .

Also sind die drei Kreuzungen $(2, 0, 0)$ $(2,0,0)$ , $(0, 4, 0)$ $(0,4,0)$ , und $(0, 0, 4)$ $(0,0,4)$ von Entfernungen $2$ $2$ , $4$ $4$ , und $4$ $4$ jeweils von $(0, 0, 0)$ $(0,0,0)$ .

Von dem $z$ $z$ Kreuzung erhalten wir die Höhe der hypothetischen rhomboiden Pyramide.
Von dem $x$ $x$ und $y$ $y$ Kreuzungen bekommen wir Hälfte von jedem diagonalen Abstand über die hypothetische Basis.

Das Volumen des Ganzen Rautenpyramide wäre gewesen:

$V_{tetrahedron} = \frac{1}{3} A_{base} h$ $mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)$

Das Gebiet der symmetrische Rhombusbasis ist dann vier mal die Fläche von jeder dreieckige Abschnitt, das ist der Bereich, der von $y = 4 - 2 x$ $y = 4 - 2x$ und die $x$ $x$ und $y$ $y$ Achsen.

$x$ $x$ und $y$ $y$ wird die Höhe des Dreiecks, und wir lösen für seine Fläche als $A_{triangle} = \frac{1}{2} x y$ $A_"triangle" = 1/2xy$ . Somit:

$A_{base} = 4 (\frac{1}{2} x y) = 2 x y = 2 (2) (4) = 16$ $A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16$

Oder wir hätten die Formel für das verwenden können Bereich einer Raute ("Diagonalen Methode"), die verwendet $2 x$ $2x$ und $2 y$ $2y$ wie die Diagonalen $p$ $p$ und $q$ $q$ .

$A_{base} = \frac{p q}{2} = \frac{(2 x) (2 y)}{2} = 2 x y = 16$ $A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16$

Schließlich durch den Bau der Volumen des ursprünglichen Tetraeders ist dann ein Viertel des Volumens unserer hypothetischen Rhomboidpyramide:

$V_{tetrahedron} = \frac{1}{4} [\frac{1}{3} A h]$ $color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} [16 \cdot 4]$ $= 1/4*1/3[16*4]$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$ $= 1/4*64/3$

$= \frac{16}{3}$ $= color(blue)(16/3)$

CALCULUS III-ANSATZ

Ein alternativer Ansatz dazu mit Dreifachintegrale beinhaltet die Integration jeder Dimension zu einem Zeitpunkt.

$\Rightarrow \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{z_{1}}^{z_{2}} d z d y d x$ $=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)$

Was wir haben, ist $x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0$ $x_1 = y_1 = z_1 = 0$ , da die Untergrenze jede Koordinatenebene ist. Das heißt, wir wissen das $x, y, z \geq 0$ $x,y,z >= 0$ Wir sind also an diese Werte gebunden.

Als nächstes lösen wir die Gleichung für jede einzelne Variable, um die oberen Grenzen zu erhalten.

Lösen für $z_{2}$ $z_2$ , wir bekommen $z_{2} = 4 - 2 x - y$ $color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)$ .

Note: our integration element can't have $x = y = 0$ $x = y = 0$ , because $z = 4 - 2 x$ $z = 4 - 2x$ is our $x z$ $xz$ -plane triangle, and $y$ $y$ allows us to integrate with respect to $y$ $y$ later. This is our projection along the $y$ $mathbf(y)$ axis.

Lösen für $y_{2}$ $y_2$ stellen wir fest, dass in drei Dimensionen gibt es zwei Kreuzungen auf der $x y$ $xy$ -Flugzeug: wann $x = 0$ $x = 0$ Und, wenn $y = 0$ $y = 0$ . Wir können beide in eine 2-Variablengleichung aufnehmen, wenn $z = 0$ $z = 0$ bekommen:

$y_{2} = 4 - 2 x$ $color(green)(y_2 = 4 - 2x)$

Note: our integration element can't have $x = 0$ $x = 0$ , because $y = 4$ $y = 4$ is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to $x$ $x$ later. This is our projection along the $x$ $mathbf(x)$ axis.

Lösen für $x_{2}$ $x_2$ finden wir wo $4 - 2 x$ $4 - 2x$ schneidet die $x$ $x$ -Achse: wann $z = 0$ $z = 0$ und $y = 0$ $y = 0$ . Daher arbeiten wir aus der Anfangsgleichung, um Folgendes zu erhalten:

$2 x_{2} = 4 - z - y \Rightarrow 2 x_{2} = 4$ $2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 4$

$x_{2} = 2$ $color(green)(x_2 = 2)$

Insgesamt sollten wir uns das vorstellen $x z$ $xz$ -Flugzeug gebaut von der $x$ $x$ und $z$ $z$ fängt ab, nach außen entlang der projiziert $y$ $mathbf(y)$ Achse, begrenzt:

Von oben durch die $z = 4 - 2 x - y$ $z = 4 - 2x - y$ Ebene
Von der rechten oberen Seite des $x y$ $xy$ -Flugzeug von das $y = 4 - 2 x$ $y = 4 - 2x$ Linie
Von links durch die $y z$ $yz$ -Ebene
Von unten durch die $x y$ $xy$ -Ebene

so:

um den Tetraeder zu erzeugen:

So funktionieren unsere Integrale von innen nach außen:

$\int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - 2 x} \int_{0}^{4 - 2 x - y} 1 d z d y d x$ $int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx$

$= \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - 2 x} 4 - 2 x - y d y d x$ $= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx$

Nun zum "partiellen" Integral in Bezug auf $y$ $y$ (die Umkehrung der partiellen Ableitung in Bezug auf $y$ $y$ ). So, $x$ $x$ ist eine Konstante.

$= \int_{0}^{2} {∣ ∣ ∣ [4 y - 2 x y - \frac{y^{2}}{2}] ∣ ∣ ∣}_{0}^{4 - 2 x} d x$ $= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx$

$= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx$

$= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx$

$= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx$

$= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx$

Schließlich das Integral in Bezug auf $x$ Es ist einfacher, mit nur einer Variablen umzugehen.

$= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx$

$= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)$

$= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])$

$= 32 + 16/3 - 16 - 16$

$= color(blue)(16/3)$

... passend zum intuitiven, visuellen Ansatz!