Bewerten Sie das unbestimmte Integral als Potenzreihe?

Antworten:

$C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))$ $R=1$

Erläuterung:

Erinnern Sie sich an die Power Series Erweiterung für $ln(1+x):$

$ln(1+x)=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n$

Dies ist eine, die du dir merken solltest; es wird jedoch wie folgt abgeleitet:

$ln(1+x)=int1/(1+x)dx=int1/(1-(-x))dx$

$=intsum_(n=0)^oo(-1)^nx^n=sum_(n=0)^ooint(-1)^nx^n$

$ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)$ (Term-by-Term-Integration für die Serie durchgeführt)

Letting $x=0,$

$C=ln(1+0)=0$

Durchführen einer Indexverschiebung nach $n=1$ bedeutet, alle zu ersetzen $n$ in der serie mit $n-1$

$=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n$ .

In diesem Wissen können wir unser gegebenes unbestimmtes Integral wie folgt umschreiben:

$intx^3sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/ndx$

Multiplizieren Sie in der $x^3$ in die Serie. Wir können dies tun, weil in Bezug auf die Serie, $x$ wird ein fester Wert sein. Alles was wir tun müssen, ist hinzuzufügen $3$ zum Exponenten von $x^n, x^3x^n=x^(n+3)$

$intsum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx$

Der Konvergenzradius dieser Reihe beträgt $R=1,$ denn das ist der Konvergenzradius der Potenzreihenerweiterung für $ln(1+x)$ . Multiplikation in der $x^3$ ändert den Konvergenzradius nicht.

Wir führen eine termingerechte Integration der Serien durch:

$sum_(n=1)^ooint(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx$

$=C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))$

Wir verlassen $C$ wie es hier ist.

Der Konvergenzradius ist noch $R=1.$ Der Konvergenzradius ändert sich beim Integrieren der Reihe nicht (das Intervall kann).