Beweisen Sie, dass das Trägheitsmoment eines Kegels # I = 3 / 10mr ^ 2 # bezüglich seiner Achse ist, die durch das Massenzentrum verläuft? h = Höhe; Radius der Basis = r

Die Masse der Elementarscheibe beträgt #dm=rho*pir^2dz#

Die Dichte des Kegels beträgt

#rho=M/V=M/(1/3piR^2h)#

Deswegen,

#dm=M/(1/3piR^2h)pir^2dz#

#dm=(3M)/(R^2h)r^2dz#

Aber

#R/r=h/z#

#r=Rz/h#

#dm=3M/(R^2h)*(R^2)/h^2*z^2dz=3M/h^3
z^2dz#

Die Trägheitsmoment der Elementarscheibe über die #z-#Achse ist

#dI=1/2dmr^2#

#dI=1/2*3M/h^3z^2*z^2R^2/h^2dz#

#dI=3/2*MR^2/h^5z^4dz#

Beide Seiten integrieren,

#I=3/2*MR^2/h^5int_0^hz^4dz#

#I=3/2*MR^2/h^5[z^5/5]_0^h#

#I=3/2*MR^2/h^5*h^5/5#

#=3/10MR^2#