Coleen

Was ist das Integral von # 1 / (1 + x ^ 2) #? Antworten: #int1/(1+x^2)dx=tan^-1x+C# Erläuterung: #color(blue)(int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C##rarr# Woher #u# ist eine Funktion von #x# #color(red)(„Proof:“)# #int(du)/(1+u^2)# Integration durch trigonometrische Substitution #u=tantheta##rarr##du=sec^2thetad(theta)# #int(du)/(1+u^2)=int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta# #color(green)(sec^2theta=1+tan^2theta# #int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta)=int((cancel(1+tan^2theta))d(theta))/cancel(1+tan^2theta)# #=intd(theta)=theta# Vertausche die Ersetzung #u=tantheta##color(red)(rarr##theta=tan^-1u# #therefore int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C# Einfach durch Ersetzen in dieser Beziehung #int(dx)/(1+x^2)=tan^-1x+C#