Wir werden den Ratio-Test verwenden. Der Ratio-Test sagt das für die Serie #suma_n#können wir eine Entscheidung über die Konvergenz treffen, indem wir #L=lim_(ararroo)abs(a_(n+1)/a_n)#. Untersuchen Sie den Wert von #L#:

• If #L>1#, dann #suma_n# ist divergent.
• If #L=1#, dann ist der Test nicht schlüssig.
• If #L<1#, dann #suma_n# ist (absolut) konvergent.

Also für die Serie #sum_(n=0)^oo1/(n!)# wir lassen #a_n=1/(n!)#. Dann sehen wir das

#L=lim_(nrarroo)abs((1/((n+1)!))/(1/(n!)))=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)!))#

Dies erfordert einen kurzen Rückblick auf die Fakultät. Die Definition von Fakultät besagt, dass #(n+1)! =(n+1)(n!)#Ähnlich wie #7! = 7*6!#. Somit:

#L=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)(n!)))=lim_(nrarroo)abs(1/(n+1))=0#

Da #L=0# und deshalb #L<1#, wir sehen das #suma_n=sum_(n=0)^oo1/(n!)# konvergiert durch den Ratio-Test.

Wir sind gegeben

#f(x)=1/(1-x)^2#

Das ist ziemlich ähnlich zu #1/(1-x)#, für die wir eine Potenzreihe kennen:

#1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k#

Der Konvergenzradius für diese Potenzreihe beträgt #x in (-1,1)#.

Es wäre zwar einfach, das zu sagen

#1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2#

Dies ist keine gültige Darstellung einer Potenzreihe.

In der Regel ergeben sich einige Potenzreihen aus Derivate. Es wäre auch einen Versuch wert.

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]#

Durch die Quotientenregel,

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2#

As #"d"/("d"x) x^k = kx^(k-1)#:

#"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

Daher die Potenzreihendarstellung von #f(x)# is

#1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

mit Konvergenzradius #x in (-1,1)#.