Aus einem umgekehrten konischen Tank tritt Wasser mit einer Geschwindigkeit von 10,000 cm ^ 3 / min cm / min aus, während Wasser mit einer konstanten Geschwindigkeit in den Tank gepumpt wird. Der Tank hat eine Höhe von 6m und der Durchmesser oben ist 4m. Wenn der Wasserstand bei einer Wasserhöhe von 20m mit einer Geschwindigkeit von 2 cm / min ansteigt, wie kann ich die Geschwindigkeit ermitteln, mit der Wasser in den Tank gepumpt wird?

Antworten:

(siehe unten für die Lösungsmethode)

Erläuterung:

Ignorieren Sie zunächst die Leckage und bestimmen Sie die Zuflussrate, die erforderlich ist, um die angegebene Höhe (Tiefe) der Wasserzunahme zu erreichen.

Später werden wir die Tatsache nutzen, dass
Tatsächliche Zuflussrate
= Zuflussrate für erhöhte Tiefe + Leckrate

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Für den gegebenen Kegel ist das Verhältnis von r adius zu h acht ist #1/3#

so
#r = 1/3 h#

Die Formel für das Volumen eines Kegels:
#V = (pi r^2 h)/3# wird #V = (pi h^3)/(27)#

#(d V)/(dh) = (pi h^2)/9#

Wir sind an der zeitlichen Änderung des Volumens interessiert und nehmen dies zur Kenntnis
#(d V)/(dt) = (d V)/(dh) * (d h)/(dt)#

Verwenden Sie den Wert, für den wir bereits gerechnet haben #(d V)/(dh)# und der gelieferte Wert von #20# cm / min (in einer Höhe von #h=200# cm)
wir bekommen:

#(d V)/(dt) = (pi (200 cm)^2 * (20 cm))/(9 min)#
#= (800000 pi)/9# #cm^3#/ Min
oder grob
#279,252.7# #cm^3#/ Min

Dies ist die Zuflussrate, die erforderlich ist, um eine Erhöhung der Höhe und zu verursachen
ignoriert die Leckrate

Die tatsächliche Zuflussrate muss die Summe dieser beiden Werte sein:
#279,252.7# #cm^3#/ Min #+ 10,000# #cm^3#/ Min
#= 289,252.7# #cm^3#/ Min

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