Finden Sie zwei positive Zahlen, die den gegebenen Anforderungen entsprechen. Die Summe aus der ersten Zahl im Quadrat und der zweiten Zahl ist 60 und das Produkt ist ein Maximum?

Antworten:

Die Zahlen sind $40$ und $2sqrt(5)$ . Ich weiß, das sind keine ganzen Zahlen (und $sqrt(5)$ ist keine rationale Zahl), aber dies ist die logischste Lösung für dieses Problem.

Erläuterung:

Lass die Zahlen sein $x$ und $y$ .

$x^2 + y = 60 -> y = 60 - x^2$

Das Produkt wird sein $P = xy$ . Wenn wir die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$P = (60 - x^2)x$

$P = -x^3 + 60x$

Wir finden nun die Ableitung bezüglich $x$ .

$P' = -3x^2 + 60$

Bestimmen Sie nun die kritischen Zahlen, die wann auftreten $P' = 0$ .

$0 = -3x^2 + 60$

$0 = -3(x^2 - 20)$

$x = +- sqrt(20)$

$x= +- 2sqrt(5)$

Wir müssen das überprüfen, um sicherzugehen $x = + 2sqrt(5)$ ist in der Tat ein Maximum.

Testpunkt $1$ : $x = 4$

$P'(4) = -3(4)^2 + 60 = "positive"$

Testpunkt $2$ : $x = 5$

$P'(5) = -3(5)^2 + 60 = "negative"$

Durch Erhöhen / Verringern der Regeln können wir daraus schließen $2sqrt(5)$ ist ein lokales Maximum (diese Funktion hat kein absolutes Maximum).

Dies bedeutet, dass $y = 60 - (2sqrt(5))^2 = 40$ .

Hoffentlich hilft das!