Wie können Sie den Grenzwertprozess verwenden, um den Bereich zwischen dem Diagramm `y = 16-x ^ 2` und der x-Achse über das Intervall [1,3] zu ermitteln?

`int_a^b f(x) dx = lim_(nrarroo) sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax`.

Wobei für jede positive ganze Zahl `n`, wir lassen `Deltax = (b-a)/n`

Und für `i=1,2,3, . . . ,n`, wir lassen `x_i = a+iDeltax`. (Diese `x_i` sind die richtigen Endpunkte der Teilintervalle.)

Ich bevorzuge es, diese Art von Problem Schritt für Schritt zu lösen.

`int_1^3 (16-x^2) dx`.

Finden `Delta x`

Für jeden `n`, wir bekommen

`Deltax = (b-a)/n = (3-1)/n = 2/n`

Finden `x_i`

Und `x_i = a+iDeltax = 1+i2/n = 1+(2i)/n`

Finden `f(x_i)`

`f(x_i) = 16-(x_i)^2 = 16-(1+(2i)/n)^2`

`= 16-(1+(4i)/n+(4i^2)/n^2)`

`= 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2`

Finden und vereinfachen `sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax` um die Summen zu bewerten.

`sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = sum_(i=1)^n( 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2) 2/n`

`= sum_(i=1)^n( 30/n -(8i)/n^2 - (8i^2)/n^3)`

`=sum_(i=1)^n ( 30/n) - sum_(i=1)^n((8i)/n^2) - sum_(i=1)^n((8i^2)/n^3)`

`=30 /nsum_(i=1)^n ( 1)-8/n^2sum_(i=1)^n(i)-8/n^3sum_(i=1)^n(i^2)`

Bewerten Sie die Summen

`= 30/n(n) -8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)`

(Wir haben im vorherigen Schritt Summenformeln verwendet.)

Schreiben Sie neu, bevor Sie das Limit finden

`sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = 30/n(n) - 8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)`

`= 30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)`

Jetzt müssen wir das Limit bewerten as `nrarroo`.

`lim_(nrarroo) ((n(n+1))/n^2) = 1`

`lim_(nrarroo) ((n(n+1)(2n+1))/n^3) = 2`

Um die Berechnung abzuschließen, haben wir

`int_0^1 x^2 dx = lim_(nrarroo) (30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)`

`= 30 - 4(1) - 4/3(2)`

`= 90/3 - 12/3 - 8/3 = 70/3`.