Wie können Sie mithilfe des Integraltests zeigen, ob #sum (1 / e ^ k) # divergiert oder konvergiert?

Der integrale Test besagt, dass:

If #int_1^oo f(x)dx# konvergiert zu einem Wert, der dann nicht unendlich ist #sum_(k=1)^oof(k)# wird auch konvergieren.

Zuerst müssen wir uns mit der Natur von beschäftigen #f(x) = 1/e^x#.

graph {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}

Wie wir sehen können #f(x)# ist streng abnehmend von #x = 1# auf Worte, damit wir den integralen Test anwenden können.

Merken #f(k)= 1/e^k = e^(-k)#

Integrieren Sie dies in Bezug auf #x# bekommen:

#int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo#

Für die obere Grenze können wir das als sehen #x# wird sehr groß der Boden der Fraktion wird auch groß, daher wird die Fraktion insgesamt sehr klein und verschwindet vollständig bei #x=oo# .Formeller:

#lim_(x->oo)(-1/e^x)=0#

Für die Untergrenze erhalten wir einfach: #-1/e^#

Die Bewertung der Grenzen ergibt also:

#[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^# das ist endlich.

Also, durch den Integraltest, wenn das Integral zu einem endlichen Wert konvergiert, dann ist die Summation:

#sum_(k=1)^oof(k)# konvergiert auch.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Das Integral kann nicht zur Bewertung der Summe verwendet werden , aber teste nur, ob es konvergiert oder nicht, das heißt:

#sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e#

Infact, wenn wir die Summe auswerten, die wir erhalten:

#sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)#