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Wie erweitert man # (1 + x ^ 3) ^ 4 # mit Pascals Dreieck?

Antworten:

Da es in dieser Erweiterung (4 + 1) = 5-Terme gibt, müssen wir die Zahlen im finden #5^(th)# Begriff des Pascalschen Dreiecks. Um die Anzahl der Terme in einer Erweiterung zu ermitteln, fügen Sie immer 1 zum Exponenten hinzu, um die einzuschließen #0^(th)# tigen.

Erläuterung:

Zeichnen Sie ein Diagramm, um Pascals Dreieck darzustellen. Jede Zeile ist die Summe der darüber liegenden Zahlen, wobei 1 in der ersten Zeile (1 und 1) in der zweiten Zeile (1, 2 und 1) in der dritten Zeile steht. Das folgende Diagramm zeigt das Pascalsche Dreieck:

http://www.icoachmath.com/math_dictionary/pascals_triangle.html

Wenn wir mit einem einzelnen 1 von der Zeile aufwärts zählen, stellen wir fest, dass die Zeile 5 die Zahlen 1, 4, 6, 4 und 1 enthält.

Zum Erweitern beginnen die Exponenten auf dem 1 bei 4 und verringern sich bis 0. Die Exponenten auf der #x^3# wird von 0 auf 4 erhöht. Wie Sie sehen, müssen sich die Exponenten in jedem Term zum Exponenten des Ausdrucks addieren, der in diesem Fall 4 ist.

#1(1)^4(x^3)^0 + 4(1)^3(x^3)^1 + 6(1)^2(x^3)^2 + 4(1)^1(x^3)^3 + 1(1)^0(x^3)^4#

Vereinfachung durch Verwendung von Exponentengesetzen:

#1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^12#

Wenn voll ausgebaut, #(1 + x^3)^4# = #1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^12#. Wie Sie sehen können, in jedem t

Übungsaufgaben:

  1. Erweitern #(2x - 3y)^5# mit Pascals Dreieck.

  2. Suchen Sie den 3rd-Begriff in #(x + 3)^7#. Tipp: Denken Sie daran, die entsprechende Nummer im Pascal-Dreieck zu finden und sie für nCr einzustecken #t_(r + 1) = nCr(a)^(n - r) xx b^r#.

Viel Glück!