Wie werden Sie beweisen, dass die Arbeit im isothermen Prozess immer größer ist als im adiabatischen Prozess?

Ich nehme an, Sie meinen für ein ideales Gas. Es ist viel schwieriger für ein echtes Gas ...

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Wir werden uns darauf konzentrieren reversibel Arbeit, weil es die maximale Arbeit ist, die getan werden kann. Dies ist der einzige faire Vergleich, da es unendlich viele Kombinationen irreversibler Arbeitswege gibt.

Die isotherm und adiabatisch ideale Gaszustandsgleichungen sind jeweils#""^(‡)#:

#PV = "const"#

#PV^gamma = "const"#, #" "##gamma = barC_P/barC_V = (barC_V + R)/(barC_V) = 1 + R/(barC_V)#

#""^(‡)#The full derivation for the #PV# expressions is shown here!

Um die PV-Arbeitsgrößen zu vergleichen, untersuchen wir die Steigung, #(dP)/(dV)# in beiden Szenarien. Die reversible Arbeit ist der Bereich unter der Kurve eines PV-Graphen, sodass die steilere Steigung für denselben einen geringeren Arbeitsaufwand ergibt #DeltaV#.

Aus den Differentialformen:

Isotherme:

#d(PV) = PdV + VdP = 0#

#=># #color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_T = -P/V" ")|)#

Adiabatisch:

#d(PV^gamma) = P cdot d(V^gamma) + V^gamma dP#

#= P cdot gammaV^(gamma-1)dV + V^gamma dP = 0#
(where we had used the chain rule on the first term to recover #dV#)

Teilen durch #V^gamma# gibt:

#=> gammaP/VdV + dP = 0#

#=> dP = -gammaP/VdV#

Als Ergebnis für eine adiabatisch verarbeiten,

#color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_q = -gamma P/V " ")|)#

Hier haben wir eine #gamma# Begriff, der immer größer ist als #1#.

Dies sagt uns, dass die Steigung im Allgemeinen ist, wenn das Gas isotherme Arbeit leistet weniger steil. Daher ist die geleistete Arbeit (die Fläche unter der PV-Kurve) in der Regel größer.

Hier ist eine Grafik von einem Problem, das ich in Levine gemacht habe:

Wenn sich das Gas ausdehnt, folgt es der Kurve nach unten. Wenn das Gas komprimiert, folgt es der Kurve nach oben. In beiden Fällen ist der Bereich unter der Kurve die reversible Arbeit.