Was ist der Unterschied zwischen impliziter und expliziter Differenzierung?

Antworten:

Es ist ein Unterschied, wie die Funktion präsentiert wird, bevor differenziert wird (oder wie die Funktionen präsentiert werden).

Erläuterung:

$y = -3/5x+7/5$ gibt $y$ explizit in Abhängigkeit von $x$ .

$3x+5y=7$ gibt genau die gleiche Beziehung zwischen $x$ und $y$ , aber die Funktion ist in der Gleichung implizit (versteckt). Um die Funktion explizit zu machen, lösen wir nach $x$

In $x^2+y^2=25$ , $y$ ist keine Funktion von $x$ . Es gibt jedoch zwei Funktionen, die in der Gleichung impliziert sind. Wir können die Funktionen durch Lösen von explizit machen $y$ .

$y = +- sqrt(25-x^2)$ ist äquivalent zu der obigen Gleichung und hat 2-Funktionen, die nicht zu schwierig zu erklären sind:

$y=sqrt(25-x^2)$ gibt $y$ als Funktion von $x$ und

$y=-sqrt(25-x^2)$ gibt $y$ als eine andere Funktion von $x$ .

Wir können entweder implizite oder explizite Darstellungen unterscheiden.

Indem wir implizit differenzieren (die Funktionen implizit lassen), erhalten wir

$2x+2y dy/dx = 0$ $" "$ so $" "$ $dy/dx = -x/y$

Die $y$ In der Formel für das Derivat ist der Preis angegeben, den wir zahlen, wenn wir die Funktion nicht explizit angeben. Es ersetzt die explizite Form der Funktion.

Für $y=sqrt(25-x^2)$ , wir bekommen $dy/dx = - x/sqrt(25-x^2)$ (Verwende die Kraft- und Kettenregel) und

in $y= - sqrt(25-x^2)$ , wir bekommen $dy/dx = x/sqrt(25-x^2)$ .

Die gleichung $y^5+4x^2y^2-3y+7x=28$ kann nicht algebraisch gelöst werden $y$ , (oder wie auch immer, einige 5th-Grad-Gleichungen können nicht gelöst werden), aber es gibt verschiedene Funktionen von $x$ implizit in der Gleichung. Sie können sie in der Grafik der Gleichung sehen (siehe unten).

graph{y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 [-7.14, 6.91, -4.66, 2.36]}

Wir können den Graphen in Stücke schneiden, von denen jedes der Graph einer Funktion von ist $x$ auf einer Domain.

Implizite Differenzierung erlauben Sie uns, die Ableitung (en) von zu finden $y$ in Bezug auf $x$ ohne explizite Angabe der Funktion (en). Auf diese Weise können wir die Steigung der Linie ermitteln, die am Punkt tangential zum Graphen liegt $(1,2)$ .