Integration von sinx / x von 0 bis unendlich?

Wir suchen:

# I = int_0^oo sinx/x dx #

Lassen #g(x) = sinx/x => g(-x) = sin(-x)/(-x) = sinx/x #

So #g(x)# ist eine gerade Funktion, und als solche:

# 2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx #

Betrachten Sie die komplexbasierte Funktion # f(z)=e^(iz)/z #Welches hat eine einfache Stange an #z=0#betrachten wir dann das Konturintegral:

# J = oint_C f(z) dz = oint_C e^(iz)/z dz # where #z in CC#

Woher #C# ist ein Halbkreis mit Radius #R# zentriert am Ursprung, der am Ursprung mit einem kleineren Halbkreis verformt ist #epsilon# schließt den Pol bei aus #z = 0#und wir verfahren die Kontur gegen den Uhrzeigersinn.

Der Integrand hat keine Pole in #C# als der Pol #z = 0# ist bei der obigen Konstruktion ausgeschlossen. So lautet nach Cauchys Satz:

# oint_C f(z) dz = 0#

Nun (in Kurzform),

# oint_C f(z) dz = int_(-R)^(epsilon) + int_(gamma_epsilon) + int_(epsilon)^R + int_(Gamma_R) = 0#

Wir benötigen einen Kostenvoranschlag für #int_(Gamma_R) f(z) dz #. Bemerken, dass #z=Re^(i theta)# on #Gamma_R#, wir haben:

# abs(int_(Gamma_R) e^(iz)/z dz) = abs(int_o^oo e^(iRcos theta-R sin theta) / (Re^(i theta)) iRe^(i theta) d theta ) #
# " " le int_0^pi e^(-Rsin theta) d theta #
# " " = 2 int_0^(pi/2) e^(-Rsin theta) d theta #
# " " le 2 int_0^(pi/2) e^((-2R theta) / pi) d theta # using #sin theta ge (2theta)/pi#
# " " = 2 [ (2e^((-2Rtheta)/pi) )/ ((-2R)/pi) ]_0^(pi/2)#
# " " = pi/R(1-e^-R)#
# " " rarr 0 # as #R rarr oo#

Vorausgesetzt, der kleine Kreis #gamma_epsilon# hat die Gleichung #z = r(cos theta + isin theta)# in #theta:pi rarr 0# dann

# lim_(epsilon rarr 0) int_(gamma_epsilon) f(z) dz = i lim_(epsilon rarr 0) int_pi^0 e^(-rsin theta)e^(ircos theta) dz #
# " " = -pi i #

Die zwei Grenzen nehmen #R rarr oo# und #epsilon rarr 0#Und wenn wir all diese Ergebnisse kombinieren, haben wir:

# int_(-oo)^oo e^(iz)/z dz - pi i = 0 => int_(-oo)^oo (cosx+isinx)/x dx = pi i #

Gleichsetzen von realen und imaginären Koeffizienten erhalten wir:

# Re: int_(-oo)^oo cosx/x dx = 0 #
# Im: int_(-oo)^oo sinx/x dx = pi #

Verwenden Sie dann das ursprüngliche Ergebnis

# 2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx => 2I = pi#

Daher

# I = pi/2 #