Wie finde ich den Bereich in einem Limacon?

Antworten:

Das von der Limousine umschlossene Gebiet $r = b + a cos theta$ is $pi(b^2+1/2 a^2)$

Erläuterung:

Betrachten Sie eine Limaçon mit Polargleichung:

$r = b + a cos theta$

Da die Frage in einer einfachen Form gestellt wird, gehe ich vereinfachend davon aus, dass sich die Limaçon nicht selbst kreuzt $abs(a) <= abs(b)$ .

Zerlegen der Limaçon in infinitesimale Segmente um die Ursprungsnote, dass jedes Segment eine Fläche hat $1/2 r^2 d theta$

Die Gesamtfläche der Limousine beträgt also:

$int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta = int_0^(2pi) 1/2 (b+acos theta)^2 d theta$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) 1/2 (b^2+2ab cos theta+a^2cos^2 theta) d theta$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) ( 1/2b^2+ab cos theta+1/4a^2(1+cos 2 theta)) d theta$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = [ 1/2b^2 theta+ab sin theta+1/4a^2(theta+1/2sin 2 theta)]_0^(2pi)$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = pi(b^2+1/2 a^2)$