Wie kann man $int arctan (1 / x)$ mit der Integration nach Teilen integrieren?

Siehe den Erklärungsabschnitt unten.

$int arctan(1/x) dx$

Lassen $theta = arctan(1/x)$ .

Dadurch $tan theta = 1/x$ , damit $cot theta = x$ .

Außerdem, $dx = -csc^2 theta " " d theta$

Das Integral wird:

$int theta (-csc^2 theta) d theta$

Lassen $u = theta$ und $dv = (-csc^2 theta) d theta$

So $du = d theta$ und $v = cot theta$

$uv-int v du = theta cot theta - int cot theta d theta$

Das Integral kann durch Substitution gefunden werden. Wir bekommen
$theta cot theta -ln abs sin theta +C$

Mit $cot theta = x$ und etwas Trigonometrie sind wir $sin theta = 1/sqrt(x^2+1)$

Deshalb

$int arctan(1/x) dx = x arctan (1/x)-ln(1/sqrt(x^2+1))+C$

$= x arctan(1/x)+1/2 ln(x^2+1) +C$

Wie kann man int arctan (1 / x) int arctan (1 / x) mit der Integration nach Teilen integrieren?