Was ist eine Lösung für die Differentialgleichung $\frac{d y}{d x} = x y$ $dy / dx = xy$ ?

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ $y = x - 1 + C/e^x$

$\frac{d y}{d x} = x - y$ $dy/dx=x-y$

nicht trennbar, nicht genau, also auf Integrationsfaktor einstellen

$\frac{d y}{d x} + y = x$ $dy/dx + y =x$

das WENN ist $e^{\int d x} = e^{x}$ $e^(int dx) = e^x$ so

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = x e^{x}$ $e^x dy/dx + e^x y =xe^x$

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = x e^{x}$ $d/dx (e^x y) =xe^x$

$e^x y = int xe^x dx qquad triangle$

Für die Integration verwenden wir IBP: $int u v' = uv - int u' v$

$u = x, u' = 1$
$v' = e^x, v = e^x$

$implies x e^x - int e^x dx$

$= x e^x - e^x + C$

Also zurück zu $triangle$

$e^x y = x e^x - e^x + C$

$y = x - 1 + C/e^x$

Was ist eine Lösung für die Differentialgleichung dy / dx = xy dydx=xy dy / dx = xy ?