Wie vereinfacht man #sin (tan ^ -1 (x)) #?

Wissend, dass

#sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1#

Wir teilen beide Seiten durch #sin^2(theta)# also haben wir

#1 + cot^2(theta) = csc^2(theta)#

Gold,

#1 + 1/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)#

Nehmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache, das wir haben

#(tan^2(theta) + 1)/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)#

Wir haben beide Seiten invertiert

#sin^2(theta) = tan^2(theta)/(tan^2(theta) + 1)#

Also sagen wir das #theta = arctan(x)#

#sin^2(arctan(x)) = tan^2(arctan(x))/(tan^2(arctan(x)) + 1)#

Wissend, dass #tan(arctan(x)) = x#

#sin^2(arctan(x)) = x^2/(x^2 + 1)#

Wir ziehen also die Quadratwurzel beider Seiten

#sin(arctan(x)) = +-sqrt(x^2/(x^2+1)) = +-|x|/sqrt(x^2+1)#

Wenn wir den Bereich des Arkustangens überprüfen, sehen wir, dass der Sinus währenddessen immer positiv ist, also haben wir

#sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)#